Количество тепла, пошедшего на нагрев, можно найти по формуле

, (3.6)

где m - масса тела, кг;

- среднемассовая или среднеинтегральная температура, .

В соответствии с теоремой о среднем:

или в безразмерном виде

, (3.7)

где .

С учётом формулы (3.7) уравнение (3.6) можно записать в виде:

, Дж, (3.8)

где — полное или максимально возможное количество теплоты, которое воспринимает или отдаёт пластина с обеих сторон за период полного её нагревания (охлаждения) от до .

Наибольшую и основную трудность при практических расчётах температур­ного поля по уравнениям (3.4) и (3.7) представляет определение бесчисленного множества корней , которые находятся из уравнения (3.5). Первые шесть кор­ней уравнения (3.5) с точностью до четвёртого знака приведены в [20]для дис­кретных значений числа Био, изменяющегося от 0 до ¥.

Однако проведение расчётов по формулам (3.4) и (3.7) с использованием табличных значений корней весьма затруднительно. Поэтому воспользуемся результатами работы [3], в которой приведены формулы по аналитическому определению корней уравнения (3.5).

Согласно [3], приближённое значение первого корня уравнения (3.5) было получено путём разложения в ряд

, .

Подставляя последнее в уравнение (3.5) и решая биквадратное уравнение, получим

, (3.9)

Где ; -коэффициент термической массивности тела; ; . При малых : .

Уравнение (3.9) при достаточно малых числах Био, когда , упрощается до следующей зависимости

. (3.10)

Для определения приближённых значений остальных корней следует разли­чать два характерных случая нагрева - при больших и малых числах Био.

Оказалось, что при малых числах Био

, (3.11)

где ; ; ,

а при больших числах Био ()

, (3.12)

где - корни характеристического уравнения (3.5) при Bi= ; ; ; β=1/Bi.

Формулы (3.9)…(3.12) являются приближёнными и при больших требованиях к точности расчётов необходимо уточнить эти решения. Применяя к трансцендентному уравнению (3.5) метод касательных Ньютона [6] для расчета (k + 1)-ого приближения

где ; , получим уточняющее уравнение

, (3.13)

где в качестве k -того приближения берётся любой корень, полученный из приведённых выше формул (3.9)…(3.12).

Расчёт по уравнению (3.13) можно прекратить при выполнении условия , где e - малое число, например, e=0,00001. Обычно доста­точно не более трёх итераций, а для номера корня необходимость в ите­рациях отпадает.