Решение задачи. Уравнение (2.1) является параболическим уравнением математической физики в частных производных, второго порядка

Уравнение (2.1) является параболическим уравнением математической физики в частных производных, второго порядка. Поскольку дифференциальные уравнения (2.1)…(2.4), которые описывают процесс теплопроводности в теле простой формы линейные, можно получить точное аналитическое решение, применяя классический метод Фурье, т.е. метод разделения переменных [20].

Представим, что температура определяется произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты, а вторая - только от времени. Это эквивалентно введению следующей замены перемен­ных:

. (3.1)

Дифференцируя (3.1) по времени и дважды по координате, а затем подставляя в уравнение (2.1), получим

. (3.2)

Известно, что две функции от двух разных и независящих друг от друга аргу­ментов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они равны одной и той же постоянной величине, равной, например – k². Тогда из выражения (3.2) вытекает два уравнения

Решением последних будет

,

.

Подставляя U и V в уравнение (3.1), получим:

(3.3)

Постоянные интегрирования С, D и k находим из начального (2.2) и гранич­ных условий (2.3) и (2.4). Подробный вывод приведён в [20].

Окончательно решение уравнения (3.3) в безразмерной форме, согласно [3] имеет вид:

, (3.4)

где - безразмерная, относительная температура, 0≤θ≤1;

— первоначальная, максимально возможная разность температур, ⁰С;

- безразмерная координата, ;

- безразмерное время, число Фурье;

- тепловая амплитуда;

- число Био;

- характеристические числа, которые находятся из следующего трансцендентного уравнения:

. (3.5)

Из анализа уравнения (3.5) видно, что имеет бесчисленное множество значений. Наиболее просто можно определить корни уравнения (3.5) графическим путем. Если левую часть уравнения обозначить через , а правую часть — через , то пересечения котангенсоиды с прямой (рис. 3.1) дают нам значения корней характеристического уравнения. Из рис. 3.1 видно, что имеется бесчисленное множество корней , причем каждое последующее решение больше предыдущего:

Чем больше n, тем ближе к числу .

Рисунок 3.1- Графический способ определения корней характеристического уравнения