Анализ дифференциального уравнения теплопроводности

Оно устанавливает связь между временным (t) и пространственным изменением температуры в любой внутренней точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.

Для простоты анализа примем, что тело изотропное, когда его теплофизические свойства не зависят от направления. Пусть также коэффициент теплопроводности не зависит от температуры. Тогда и уравнение теплопроводности (1.5) упрощается

. (1.6)

Существует более компактная форма записи дифференциального уравнения теплопроводности

(1.7)

где – лапласиан, Набла в квадрате или оператор Лапласа в декартовой системе координат; - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Запись оператора Лапласа в других системах координат:

а) цилиндрическая: , (1.8)

б) сферическая: , (1.9)

где j - азимутальный угол или угол долготы (меридианы), q - угол широты (параллели) цилиндрической и сферической систем координат.

Для одномерного поля температур можно записать общее уравнение:

(1.10)

где k – фактор геометрической формы равный 1 – для плоского тела, 2 – цилиндра и 3 для шара.

Рассмотрим физический смысл коэффициента температуропроводности а.

1) это физический параметр, зависящий от рода вещества и в основном от температуры;

2) существенен только для нестационарных процессов;

3) характеризует скорость изменения температуры, т.е. а – представляет меру теплоинерционных свойств. Это вытекает из уравнения (1.7), т.к. то скорость изменения температуры будет тем больше, чем больше а. Т.е. выравнивание температур будет быстрее происходить в том теле, где температуропроводность больше.

Т.к. , то можно составить такую "цепочку" неравенств:

а_{металлов}>а_{жидкости}>а_газов

Анализ 1) Пусть . Получим уравнение Фурье: ; (1.11)

2) , уравнение Пуассона; (1.12)

3) , уравнение Лапласа. (1.13)

В уравнениях (1.12) и (1.13) температуропроводность отсутствует, т.е.

4) ;

когда , то получим одномерное уравнение . (1.14)

Нахождение решений этих уравнений в частных производных представляет собой основное содержание теории теплопроводности.