Определяющий контраст

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 2^5-2. Возможны 12 решений, если х₄ приравнять к парному взаимодействию, а х₅-к тройному:

1. х₄=х₁х₂, х₅=х₁х₂х₃;

2. х₄=х₁х₂, х₅=-х₁х₂х₃;

3. х₄=-х₁х₂, х₅=х₁х₂х₃;

4. х₄=-х₁х₂, х₅=-х₁х₂х₃;

5. х₄=х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃;

6. х₄=х₁х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

7. х₄=-х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃;

8. х₄=-х₁х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

9. х₄=х₂х₃, х₅=х₁х₂х₃;

10. х₄=х₂х₃, х₅=-х₁х₂х₃;

11. х₄=-х₂х₃, х₅=х₁х₂х₃;

12. х₄=-х₂х₃, х₅=-х₁х₂х₃.

Допустим, что выбран пятый вариант; х₄=х₁х₃, х₅=х₁х₂х₃х₄. Тогда определяющими контрастами являются 1= х₁х₃х₄ и 1= х₁х₂х₃х₅. Если перемножить эти определяющие контрасты,то получится третье соотношение задающее элементы столбца 1= х₂х₄х₅. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст:

1 =х₁х₃х₄=х₂х₄х₅=х₂х₁х₃х₅

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁,х₂,х₃ и т.д., например,

x₁ = x₃x₄ = x₁ x₂ x₄ x₅ = x₁ x₂ x₄ x₅

x₁ x₂ = x₂ x₃ x₄ =x₁ x₄ x₅ = x₃ x₅

Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Так, коэффициент регрессии b₁ будет оценкой следующих эффектов:

b₁ β₁+β₃₄+β₂₃₅ +

Если возникает необходимость получения основных эффектов свободных от парных эффектов взаимодействия, то к выбранной реплике следует добавить еще одну реплику с обобщающим определяющим контрастом:

1= -х₁х₃х₄=-х₂х₄х₅=х₁х₂х₃х₅.

В добавленной реплике коэффициент b₁ будет оценкой следующих эффектов: b₁ β₁-β₃₄ - β₁₂₄₅+ β₂₃₅

При сложении двух ¼-реплик b₁ β₁+β₂₃₅, т.е. освобождаемся от парного эффекта взаимодействия.

Таким образом, если есть предположение, что эффекты взаимодействия первого порядка отличаются от нуля, нужно смешать две четверть-реплики, отличающиеся друг от друга знаками тройных произведений обобщающих контрастов.

Пример 8.5 Исследуем влияние различных факторов на разностенность изделия при вытяжке с утонением в среднем сечении. В качестве независимых переменных выбраны следующие факторы:

Х₁- угол вытяжной матрицы, Х₂- угол между осью пуансона и направлением хода ползуна, Х₃ - обжатие, Х₄ - разностенность заготовки в среднем сечении, Х₅ - предел текучести (табл.8.12).

Таблица 8. 12

Обознач.факто-ров	Размер- ность	Область эксперимента
Нижний уровень “-“	Основной уровень “0”	Верхний уровень “+”     Ень	Интервал варьирования.
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5	Град Рад. % мкм Па	-5 .0,00156 8.0 9.8 10	11,5 0,00233 32,5 12,0	0,00310 16,0	6,5 0,00078 17,5 19,5 4,0

Постулируется линейная модель y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₄x₄+b₅x₅..

При планировании эксперимента используем ¼-реплику от полного факторного эксперимента 2 , что позволяет ограничиться восемью опытами при проведении эксперимента вместе32. Приравняем х₄ к тройному взаимодействию х₁х₂х₃, а х₅ к х₁х₂. Обобщающий определяющий контраст запишется так:

1= х₁х₂х₃х₄=-х₁х₂х₅= -х₃х₄х₅.

Совместные оценки такой ¼-реплики таковы:

b β₁-β₂₅+β₂₃₄-β₁₃₄₅; b₂ β₂-β₁₅+β₁₃₄-β₂₃₄₅; b₃ β₃-β₄₅+β₁₂₄+β₁₂₃₅;

b₄ β₄-β₃₅+β₁₂₃-β₁₂₄₅; b₅ β₅-β₁₂-β₃₄-β₁₂₃₄₅;

Так как предполагается линейная модель, взаимодействиями факторов всех порядков можно пренебречь (табл. 8.13).

Таблица 8.13

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
bj.	+ + + + + + + + 36,1	- + - + - + - + 1,9	- - + + - - + + 0,1	- - - - + + + + -2.9	- + + - + - - + 11,1	- + - - - + + - -3,4	22,0 50,0 38,0 35,0 53,0 19,0 24,0 48,0

В нижней строке таблицы приведены коэффициенты регрессии линейного уравнения, рассчитанные по ранее рассмотренной методике

(см.п.6.3.4.). Таким образом, зависимость разностенности от выбранных факторов определяется по следующему уравнению:

=36,1+1,9 x₁ +0,1 х₂ -2,9 x₃ +11,1 x₄ -3,4 x₅

Рассмотренные дробные реплики образованы делением полного факторного эксперимента на число частей, кратное двум. Эти реплики называются регулярными. Существуют нерегулярные реплики типа ¾, ³/₈ и т.д.

Дробные реплики широко применяются при получении линейных моделей. Эффективность их применения зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Следует, однако, иметь в виду, что применение дробного факторного эксперимента имеет серьезный недостаток; исключение из исследования некоторых взаимодействий факторов, которые часто представляют особый интерес, так как анализ взаимодействий может помочь раскрыть сущность процесса.