 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Доверительный интервал. Доверительная вероятность
|
|
В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра 
одним числом. Такая оценка называется точечной. В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать - к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой 
и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и замена на может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными вероятностями и доверительными интервалами.
Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Необходимо оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность 
(например, = 0,95; 0,99 или 0,99) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение 
, для которого
Р(| - | < ) =
Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на будет 
; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью 
= 1- . Перепишем следующее уравнение в следующем виде:
P( - 
< < 
+ ) = 
Равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал
I 
=( - , + ).
I
0 1 2
Для нахождения доверительных интервалов необходимо знать заранее вид закона распределения величины X. Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины X. Однако, иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины X к какой-либо другой функции наблюденных значений x1,x2,...,xn закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов n и от закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины X.
Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина t =[ 
-М(x)]/ 
подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента, где:
/ n; = S/ 
.
Исходя из этого уравнение 
, можно записать в следующем виде: P (
- < M (x) < + ) = ;
Величина t,которая табулирована, определяется с помощью функции Лапласа. Например, если - уровень доверительной вероятности - принят равным 0,95, то величина t 
= 1,96. Следовательно, доверительный интервал будет иметь начальную точку M (x) –1,96 S / и конечную точку M (x) + 1,96 S / .
Внутри этого интервала будет находится неизвестное значение M(x) с вероятностью 0,95.
Примечание. Использование функции Лапласа для нахождения доверительных границ возможно лишь при n > 25. Для n < 25 необходимо использовать таблицы распределения Стьюдента.
Рассмотрим определение доверительных интервалов для оценки 
2 и . Для оценки 2 используется распределение Пирсона 
2, которое также табулировано. Задавшись вероятностью и определив величину q = 1 - , определяют два значения 2. Одно- для вероятности P1 = 1 – q / 2, обозначив его 
, другое - для вероятности P2 = q / 2 - 
.
Доверительные границы определяются, исходя из неравенства:
nS2/ < 2 < nS2 /
Доверительные границы для с той же доверительной вероятностью определяются из неравенства:
nS / 2 < nS / 1.
Примечание. Указанные способы определения доверительных границ могут быть применены и для случая, когда распределение случайной величины неизвестно заранее. Однако в этом случае границы будут определены лишь грубо, приближенно.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 287 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
