 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Несмещенные и эффективные оценки характеристики
|
|
В начале курса были рассмотрены такие понятия как классическая и статистическая вероятности.
Если классическая вероятность - это теоретическая характеристика, которую можно определить, не прибегая к опыту, то статистическая вероятность может быть определена только по результатам эксперимента. При большем числе опытов величина W(A) может служить оценкой для вероятности P(A). Достаточно вспомнить классические опыты Бюффона и Пирсона. Подобные аналогии можно продолжить и далее. Например, для теоретической характеристики М(x) таковой аналогией будет 
-среднее арифметическое:
= 
ifi / n,
для дисперсии D(x) эмпирическим аналогом будет статистическая дисперсия:
S 2 (x) = (xi - ) 2 fi / n.
Эмпирические характеристики , S 2 (x), W(A) являются оценками параметров М(x), D(x), P(A). В тех случаях, когда эмпирические характеристики определяются на основе большого числа опытов, использование их в качестве теоретических параметров не приведет к существенным ошибкам в исследовании, однако в тех случаях, когда число опытов ограничено, ошибка при замене будет существенна. Поэтому к эмпирическим характеристикам, являющимися оценками теоретических параметров предъявляются 3 требования:
оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.
Оценка называется состоятельной, если вероятность отклонения ее от оцениваемого параметра на величину меньшую как угодно малого положительного числа 
стремится к единице при неограниченном увеличении числа наблюдений n, т.е.
P(| 
- | < ) = 1
где - некоторый параметр генеральной совокупности,
/ - оценка этого параметра. Большинство оценок различных числовых параметров отвечают этим требованиям. Однако одного этого требования бывает недостаточно. Необходимо, чтобы они еще были и несмещенными.
Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру:
М ( /) = .
Примером состоятельной и несмещенной оценки систематического ожидания является средняя арифметическая:
М () = .
Примером состоятельной и смещенной оценки является
дисперсия:
М (S 2 (x)) = [ (n – 1)/ n ] D(x).
Поэтому, чтобы получить несмещенную оценку теоретической дисперсии D(x) надо эмпирическую дисперсию S 2 (x) умножить на n/(n – 1), т.е.
S 2 (x) = (xi - ) 2 fi / n 
n /(n – 1) = (xi - ) 2 fi/(n – 1).
Практически эту поправку вносят при вычислении оценки дисперсии в тех случаях, когда n < 30.
Состоятельных несмещенных оценок может быть несколько. Например, для оценки центра рассеивания нормального распределения наряду со средней арифметической , может быть взята медиана 
. Медиана так же, как и является несмещенной состоятельной оценкой центра группирования. Из двух состоятельных несмещенных оценок для одного и того же параметра естественно отдать предпочтение той, у которой дисперсия меньше.
Такая оценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной. Например, из двух оценок центра рассеивания нормального распределения М(x) эффективной оценкой является , а не , так как дисперсия меньше дисперсии . Сравнительная эффективность этих оценок при большой выборке приближенно равна: D() / D = 2/ 
= 0,6366.
Практически это означает, что центр распределения генеральной совокупности (назовем его 0) определяется по с той же точностью при n наблюдениях, как и при 0,6366 n наблюдениях по средней арифметической .
4.4. Свойства выборочных средних и дисперсий.
1. Если объем выборки достаточно велик, то на основе закона больших чисел с вероятностью близкой к единице, можно утверждать, что средняя арифметическая и дисперсия S2 будут как угодно мало отличаться от М(x) и D(x), т.е.
М(x), S2(x) D(x),
2. Ошибка вычисления М(x) по средней выборки зависит от ее объема n и равна 
S / 
.
Ошибка вычисления среднеквадратического отклонения генеральной совокупности по среднеквадратическому отклонению выборки зависит от ее объема и равна S / 
.
3. Если случайная величина X в генеральной совокупности имеет нормальное распределение со средней М(x) и дисперсией D(), то и средние арифметические выборок из этой совокупности будут подчинены также нормальному распределению со средней и дисперсией D(), каков бы не был объем выборок n, лишь бы число выборок было достаточно велико.
4. Когда дисперсия D(x), генеральной совокупности неизвестна, тогда для больших значений n с большей вероятностью малой ошибки можно дисперсию выборочных средних вычислить приближенно по равенству:
D() = S 2 (x) / n,
где S 2 (x) = (xi - ) 2 fi / n - дисперсия большой выборки.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 333 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
