Завдання додому. 2. Самостійна робота №11 “Метод найменших квадратів” (3 год.)

1. Конспект; [2] с. 408-414.

2. Самостійна робота №11 “Метод найменших квадратів” (3 год.)

[2] с. 420-425.

3. Самостійна робота №12 “Умовний екстремум функції Z=f (x; y) в економічній

теорії» (3 год.) [2] с. 417-420

Питання для самоконтролю

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Л Е К Ц І Я 18

Тема: Екстремум та умовний екстремум функції багатьох змінних.

Мета: сформувати поняття екстремуму та умовного екстремуму функції двох змінних.

Література: [1, с.320-327]; [6, с.313-326].

П Л А Н

1. Екстремум функції z=f (x; y). Необхідні і достатні умови існування екстремуму.

2. Поняття про скалярне поле.

1. Розглянемо функцію z=f (x; y), (х; у) .

Означення. Точка Р₀ (х₀; у₀) називається точкою max (min) функції z=f (x; y), якщо існує такий окіл точки Р₀, що належить області визначення , що значення функції в довільній точці цього околу будуть меншими (більшими) значення функції в точці Р₀.

z max

min

y

P₀

х P₀

Необхідні умови існування екстремуму.

z=f (x; y), (х; у) , Р₀ (х₀; у₀) .

Якщо в точці Р₀ існує екстремум, то в цій точці частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними; точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними.

Приклад: Знайти стаціонарні точки функції .

Відповідь: М₁ (-1; 2), М₂ (-1; -2), М₃ (0; 0)

Достатні умови існування екстремуму

Нехай в точці Р₀ (х₀; у₀) існують неперервні похідні першого та другого порядку. Позначимо А = (Р₀), В= (Р₀), С= (Р₀). Тоді:

Якщо АС-В²<0 – екстремум існує;

А >0 (C>0) – min

A <0 (C<0) – max

Якщо АС-В²>0 – екстремум не існує;

Якщо АС-В²=0 – потрібні додаткові дослідження для визначення екстремуму.

Приклад: Знайти екстремум для попередньої функції.

=4 =2у = 2х + 2

1) для М₁ (-1; 2) А = (М₁)=4

В = (М₁)=4

С= (М₁)=0

- екстремуму немає

2) для М₂ (-1; -2) А=4 В =-4 С=0

- екстремуму немає

3) для М₃ (0; 0) А=4 В=0 С=2

- екстремум існує; так як А=4>0 - min

Z_min = (0; 0)=0

z

(0; 0; 0) у

х

2. Нехай кожній точці простору ставиться у відповідність функція, яка залежить від координат точки: u=u (х; у; z)

Значення цієї функції змінюється від точки до точки.

Тоді таке поле називається скалярним просторовим полем

Нерівномірно нагрітий камінь – це поле температур.

Задати поле – значить задати скалярну функцію в кожній точці цього поля.

Якщо поле плoське, то функція залежить від двох змінних u=u (х; у).

Означення. Нехай дано просторове поле u=u (х; у; z). Множина точок, в яких функція u=u (х; у; z) має постійне значення називається поверхнею рівного рівня поля.

u=u (х; у; z)=с, с=const.

Якщо поле плоске u=u (х; у), то лінія рівного рівня називається геометричним місцем точок, в яких функція постійна.

u=u (х; у)=с, с=const – рівняння лінії рівня.

Приклад: и=х²+у² – поле. Скласти рівняння ліній рівня і побудувати їх.

х²+у² =с

1) с>0, c=R² х²+у² =R² -це рівняння задає множину концентричних кіл різних радіусів.

у

С₃ 2) с=0 х²+у² =0 - точка

С 3) с<0, C= - R² х²+у² =-R² - кола

уявного радіуса

х

Питання для самоконтролю

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Л Е К Ц І Я 19

Тема: Первісна функція та невизначений інтеграл.

Мета: сформувати поняття первісної функції та невизначеного інтеграла;

ознайомити з властивостями невизначеного інтеграла, таблицею основних інтегралів, інваріантністю формули інтегрування.

Література: [1, с. 330-336]; [6, с. 337-342].

П Л А Н

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

1) Розглянемо функцію f (x) на проміжку х (a; b).

Означення. Первісною для функції f (x) називається така функція F (x), похідна від якої дорівнює f (x):

(x) = f (x)

Приклад. F (x)=2х F (x) =x²

F (x) = x² – 6

F (x) = x²+ …

З приклада можна зробити висновок, що для однієї й тієї ж функції f (x)=2х існує множина первісних, які відрізняються постійним доданком.

Теорема. Якщо F (x) – первісна функції f (x) на проміжку (a; b), то всяка інша первісна функції f (x) на цьому самому проміжку має вигляд F (x)+С.

Доведення: Нехай Ф (х) – деяка інша, крім F (x), первісна функції f (x), тобто

f (x), х (а; b). Знайдемо похідну різниці (ф (х) – F (x))’ = ф’(х) – F’(х)=

=f (x) – f (x)=0, а це означає, що ф (х) – F (x) =С, де С – сonst, тоді ф (х) = F (x) + С, що й потрібно було довести.

1) Дія знаходження множини первісних називається невизначеним інтегруванням.

Множина всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом, який позначається символом:

, де f (x) – підінтегральна функція, f (x) d x – підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування (знаходиться під знаком диференціала).

Невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою, і утворюється за допомогою паралельного переносу вздовж осі О_у.

у

F (x) + C₁

F (x)

F (x) + C₂

1) х

Властивості невизначеного інтеграла

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

3) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, с – const

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

З першої властивості видно, що знаки похідної і невизначеною інтеграла взаємно знищуються. Тобто операції диференціювання та інтегрування - взаємно обернені.

Правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням.

3. Таблиця основних інтегралів.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Приклад. 1)

=

=

2)

1) Нехай даний невизначений інтеграл

Довільна формула інтегрування залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. В цьому аклечається властивість інваріантності формули інтегрування.

Довільна формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну диференційовану функцію від х.

Нехай (х) – диференційована функція:

Приклад: - формула

Приклад:

1) =

2) ;

3)

=