Завдання додому. Изложенный в пособии материал позволяет сформировать у студентов представления о современных информационных технологиях и тенденциях их развития

П Л А Н

1. Визначники 2-го та 3-го порядків.

2. Властивості визначників. Розклад визначників за елементами рядка (стовпця.

3. Визначники n-го порядку та їх обчислення.

1. Матриця розміром m x n –це сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка має m рядків та n стовпців.

Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту та круглими дужками. Така матриця має вигляд:

А=

або А= , A=

Кожен елемент матриці А має два індекси: перший вказує номер рядка, другий –номер стовпця

Якщо m=n, то матриця буде квадратною.

n –порядок матриці.

Визначник – це число, яке знаходиться з елементів квадратної матриці за певним правилом.

Якщо квадратна матриця позначена літерою , то її визначник позначається або . Друга назва – детермінант.

Визначники 2-го порядку:

допоміжна головна

діагональ діагональ

(-) (+)

(дорівнює різниці добутків елементів головної та допоміжної діагоналей)

Приклад: =

Визначники 3-го порядку:

а) Обчислення за правилом трикутників:

головна допоміжна

діагональ діагональ

(-) (+)

б) Обчислення за правилом Саріуса:

гол. діаг. допом. діаг.

Приклад:

2. Властивості визначників.

1) Визначник при транспонуванні не змінюється (при заміні рядків на стовпці).

- транспонована матриця

2) Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

3) Якщо визначник має два однакових рядки (або стовпці), то він дорівнює нулю.

4) Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (або стовпця) помножити на дійсне число k, то визначник зміниться також в k разів

Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця)

визначника можна винести за знак визначника

Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (або стовпця) визначника

дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5) Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (або стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

Доведення випливає з властивостей 3, 4

6) Якщо у визначнику елементи будь-якого рядка (або стовпця) є сумою двох доданків, то він дорівнює сумі двох відповідних визначників,

7) Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться

-16 = -16

Для обчислення визначників порядка n > 3 використовують алгебраїчне доповнення.

Мінором елемента з визначника n-го порядку, називається визначник n-1 порядку, який одержуємо з визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент

Алгебраїчним доповненням визначника називається мінор цього елемента, взятий зі знаком , тобто

Приклад: Знайти алгебраїчні доповнення до елементів та

визначника

Теорема Лапласа (розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця).

Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

3. Для того, щоб обчислити визначник n-го порядку потрібно до нього застосовувати властивість 7 та теорему Лапласа.

Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів.

У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює 0). Треба навчитись виконувати еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.

Приклад: Обчислити визначник 4 порядку

Завдання додому

1. Конспект; підготовка до практичного заняття

2. [2], с. 16-26

3. [4], с. 81-88

Питання для самоконтролю

1. Визначники 2-го порядку.

2. Визначники 3-го порядку.

3. Властивості визначників.

4. Розклад визначників за елементами рядка (стовпця).

5. Визначники n-го порядку та їх обчислення.

Л Е К Ц І Я 2

Тема: Матриці та дії з ними

Мета: сформувати поняття матриці; розглянути застосування матриці в економіці, ознайомити з діями з матрицями та їх властивостям

Література: [1, с. 13-18]; [6, с. 44-61].

П Л А Н

1. Поняття матриці. Застосування матриці в економіці.

2. Дії з матрицями, властивості.

1. Матрицею* розміром m x n називають сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка має m рядків та n стовпців.

*(поняття матриці вперше ввели англійські математики Гамільтон і Келі)

Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту та круглими дужками. Така матриця має вигляд:

або ,

Кожен елемент матриці А має два індекси: перший вказує номер рядка, другий –номер стовпця.

*матриці широко використовуються в плануванні виробництва та транспортних перевезень. Вони дозволяють розробляти різні варіанти плану, полегшують дослідження залежності між різними економічними показниками

За формою матриці можуть бути прямокутними (m n), квадратними (m=n), матриця-рядок (у якої всього один рядок), матриця-стовпець (у якої всього один стовпець).

2. Дії з матрицями:

Порівнювати матриці можна одного розміру. Матриці рівні тоді, коли

рівні їх відповідні елементи.

1) Транспонувати матрицю –значить замінити її рядки стовпцями або навпаки.

2) Додавати (віднімати) можна матриці одного розміру. Щоб додати дві

матриці, потрібно додати їх відповідні елементи.

3) Добуток матриці на число:

щоб помножити матрицю на число, потрібно кожний елемент її помножити на це число

З цього випливає, що за знак матриці можна виносити спільний множник всіх елементів.

Приклад: Виконати дії:

Діагональною матрицею називається квадратна матриця, в якої всі елементи, крім елементів, які знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці

Е=

Нульовою матрицею називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю.

4) Добуток матриць

Матриці можна перемножати тоді, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці

(такі матриці називаються узгодженими)

Правило множення рядка на стовпець:

11

Схема:

Щоб визначити елементи , потрібно кожний елемент i-го рядка першої матриці помножити на відповідні елементи j-го стовпця другої матриці і результати (добутки) додати.

Приклад:

2)

Властивості додавання:

1) А+В=В+А (комутативність)

2) А+(В+С)=(А+В)+С (асоціативність)

3) А+0=А (роль 0 матриці як числа 0)

4)

5) (А+В)= А+ В

6)

Властивості множення:

1) (іноді не має змісту),

Якщо , то такі матриці називаються переставними

2) розподільний закон множення відносно додавання

3)

4)

5) (роль Е матриці як числа 1)

Приклад: Знайти добуток:

3. Якщо в квадратній матриці всі елементи замінити на відповідні алгебраїчні доповнення , потом транспонувати матрицю, то одержимо матрицю, яка називається приєднаною:

Визначником (детермінантом) квадратної матриці А називається визначник, елементами якого є елементи матриці:

число!

Квадратна матриця називаються виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю.

Квадратна матриця називається невиродженою (неособливою), якщо її визначник не дорівнює нулю.