Розклад вектора за даним базисом

Нехай дана система n векторів . Потрібно перевірити, чи утворює дана система базис, і розкласти вектор за даним базисом.

1) Вектор подамо у вигляді лінійної комбінації векторів ; коефіцієнти лінійної комбінації являються координатами , який потрібно знайти, тому позначимо їх :

(1)

2) В рівності (1) замість запишемо стовпці їх координат.

3) Виконавши дії над одержаною рівністю у вигляді матриць, одержимо систему n рівнянь з n невідомими, яку розв’язуємо методом Жордана-Гаусса.

- Якщо система має 1 розв’язок, то утворюють базис і вектор єдиним способом може бути розкладений за цим базисом.

- Якщо система рівнянь має безліч розв’язків або несумісна, то вектори базис не утворюють.

Зауваження: Довільний n-вимірний векторний простір має базис, який утворює система одиничних n -вимірних векторів:

= (1; 0; 0;...0) = (0; 1; 0;...0)

= (0; 0; 1;...0)... = (0; 0; 0;...1)

В тривимірному просторі такими були вектори .

Приклад: чи утворюють вектори базис і якщо утворюють, то розкласти за цим базисом:

= (1; 0; 1; 0) = (2; 1; -1; 2) = (-1; 1; 2; -1)

= (0; 1; 1; 1) = (2; 2; 2; 1)

Розкласти вектор за даним базисом –значить записати його як лінійну комбінацію базисних векторів.

?

~ ~

~ ~ ~

~ ~

Всі стовпці основної матриці базисні, значить система має 1 розв’язок, а значить вектор можна єдиним способом розкласти за даним базисом. Всі чотири вектори утворюють базис.

х₁=1, х₂=1 х₃=1 х₄=0

В новому базисі вектор має координати: =(1; 1; 1; 0).