Решение. Проверяем условие равновесия моста:

Проверяем условие равновесия моста:

r ₂× r ₃ = 40×60 = 2400; r ₁× r ₄ = 20×30 = 600.

Так как r ₁× r ₄¹ r ₂× r ₃, то мост неуравновешен, все его токи отличны от нуля.

Заменим треугольник сопротивлений r ₂- r ₄- r ₅ эквивалентным соединением в звезду, получим схему рис. 1.37, для которой

r_a = = = 9 Ом,

r_b = = = 12 Ом,

r_c = = = 12 Ом.

Входное сопротивление схемы по отношению к зажимам источника ЭДС

r_вх = r + + r_b =

= 10 + + 12 =

= 43,86 Ом.

Входной ток мостовой схемы

I ₀ = = = 9,12 А.

Токи параллельных ветвей схемы рис. 1.37

I ₁ = I ₀× = 9,12× = 6,23 А,

I ₂ = I ₀× = 9,12× = 2,89 А.

Напряжение U ₄₃ = I ₁× r_с + I ₀× r_b = 6,23×12 + 9,12×12 = 184,2 B.

Возвращаемся к исходной схеме и рассчитываем токи треугольника сопротивлений: I ₂ = = = 4,61 А,

I ₄ = I ₀ – I ₂ = 9,12 – 4,61 = 4,51 А,

I ₅ = I ₂ – I ₁ = 4,61 – 6,23 = -1,62 А.

ЗАДАЧА 1.36. Определить токи в схеме рис. 1.38,а, используя эквива-лентные преобразования, если входное напряжение схемы U_вх = 400 В, а пара-метры r ₁ = 10 Ом, r ₂ = 60 Ом, r ₃ = 20 Ом, r ₄ = 100 Ом, сопротивление нагруз-ки, подключенной на выходе схемы (выход четырёхполюсника), r ₅ = 50 Ом.

Рассчитать также коэффициент передачи напряжения k_U и коэффициент передачи тока k_I.

Решение. Вариант 1

Заменим смешанное соединение сопротивлений r ₃, r ₄, r ₅ эквивалентным сопротивлением (рис. 1.38,б) r_ac:

r_ac = r ₃ + = 20 + = 53,33 Ом.

Входное сопротивление схемы:

r_вх = r ₁ + = 10 + = 38,24 Ом.

Входной ток схемы: I_вх = I ₁ = = = 10,46 А.

Напряжение на разветвлении схемы рис. 1.38,б:

U_ad = I ₁× = 10,46× = 295,4 B,

а токи I ₂ = = = 4,92 А, I ₃ = = = 5,54 А.

Напряжение на разветвлении правого участка схемы рис. 1.38,а со смешанным соединением U_bc = U_вых = I ₃× = 5,54× = 184,6 B,

а токи параллельных ветвей I ₄ = = = 1,85 А,

I ₅ = I_вых = = = 3,69 А.

Коэффициент передачи напряжения k_U = = = 0,462.

Коэффициент передачи тока k_I = = = 0,353.

Решение. Вариант 2

Схемы с одним источником питания (это имеет место всегда при изуче-нии вопросов, связанных с передачей сигнала со входа схемы в нагрузку) удобно рассчитывать методом пропорциональных величин. При этом задаются произвольным значением тока или напряжения самого удалённого от источника питания участка – в нашем случае примем ток I ₅ = 10 А.

Затем с помощью законов Кирхгофа рассчитывают напряжение на входе (так называемое воздействие), которое на выходе создаёт ток I ₅ (так называемая реакция цепи), который равен принятому значению:

U ₅ = I ₅× r ₅ = 10×50 = 500 B,

I ₄ = = = 5 A, I ₃ = I ₅ + I ₄ = 10 + 5 = 15 A,

U_ad = I ₃× r ₃ + I ₅× r ₅ = 15×20 + 500 = 800 B,

I ₂ = = = 13,33 A, I ₁ = I ₂ + I ₃ = 13,33 + 15 = 28,33 A,

U_вх = I ₁× r ₁ + U_ad = 28,33×10 + 800 = 1083 B.

Находят коэффициент пропорциональности k = = = 0,369, на

который необходимо умножить все ранее полученные выражения, чтобы получить искомые значения при заданном напряжении U_вх = 400 В.

Получаем I ₁ = I ₁× k = 28,33×0,369 = 10,46 А,

I ₂ = I ₂× k = 13,33×0,369 = 4,92 А, I ₃ = I ₃× k = 15×0,369 = 5,54 А,

I ₄ = I ₄× k = 5×0,369 = 1,85 А, I ₅ = I ₅× k = 10×0,369 = 3,69 А,

U_ad = U_ad × k = 800×0,369 = 295,4 B, U ₅ = U_вых = U ₅× k = 500×0,369 = 185 B,

что совпадает с решением по варианту 1.

ЗАДАЧА 1.37. Рассчитать токи в условиях задачи 1.22 (рис. 1.30) с помощью эквивалентных преобразований, заменив сопротивления звезды r ₃- r ₄- r ₅ эквива-лентным соединением в треугольник.

ЗАДАЧА 1.38. Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 1.39, заменив треугольник сопротивлений r_ab - r_bc - r_ca эквивалентной звездой, если: E_A = 50 В, E_B = 30 В, E_C = 100 В,

r_A = 3,5 Ом, r_B = 2 Ом, r_C = 7 Ом, r_ab = 6 Ом, r_bc = 12 Ом, r_ca = 6 Ом.

Ответы: I_A = -0,4 A, I_B = -4,4 A, I_C = 4,8 A,

I_ab = 2,1 A, I_bc = -2,3 A, I_ca = 2,5 A.

ЗАДАЧА 1.39. Рассчитать токи в схеме рис. 1.40 методом преобразования электрической цепи, проверить БМ, если: r ₁ = r ₂ = 6 Ом,

r ₃ = 3 Ом, r ₄ = 12 Ом, r ₅ = 4 Ом, j = 6 А.

Ответы: I ₁ = 1 A, I ₂ = 1 A, I ₃ = 2 A,

I ₄ = 1 A, I ₅ = 3 A.

ЗАДАЧА 1.40. Решить задачу 1.19 с помощью эквивалентных преобразований цепи.

ЗАДАЧА 1.41. В цепи рис. 1.41 j = 50 мА, E = 60 В, r ₁ = 5 кОм, r ₂ = 4 кОм, r ₃ = 16 кОм, r ₄ = 2 кОм, r ₅ = 8 кОм. Вычислить ток ветви с сопротивлением r ₅, пользуясь преобразованием схем с источниками тока в эквивалентные схемы с источниками ЭДС и наоборот.

Решение. Вариант 1

Перерисуем схему рис. 1.41 в виде рис. 1.42,а. Эквивалентность исходной и новой схем очевидна: к соответствующим узлам обеих схем подходят одинаковые токи. В частности, результирующий ток, подводимый к узлу а, равен нулю. Преобразуем источники тока j последней схемы в источники с ЭДС Е ₁ и Е ₃ (рис. 1.42,б):

Е ₁ = jr ₁ = 50·10 ^-3·5·10 ³ = 250 В;

Е ₃ = jr ₃ = 50·10 ^-3·16·10 ³ = 800 В.

Складывая соответствующие элементы ветвей, приводим рис. 1.42,б к виду рис. 1.42,в, для которого Е ₆ = Е – Е ₁ = 60 – 250 = -190 В;

r ₆ = r ₁ + r ₂ = 9 кОм; r ₇ = r ₃ + r ₄ = 18 кОм.

Преобразуем схему рис. 1.42,в в схему с источниками тока рис. 1.42,г:

j ₆ = = - = -21,2 мА; j ₇ = = = 44,4 мА.

Сложив параллельные элементы, получим схему рис. 1.42,д:

j_ЭКВ = j ₆ + j ₇ = -21,1 + 44,4 = 22,3 мА; r_ЭКВ = = = 6 кОм.

В ветвь r ₅ ответвляется часть тока j_ЭКВ, равная

I ₅ = j_ЭКВ · = 23,3· = 10 мА.

Решение. Вариант 2

Определим ток j_ЭКВ эквивалентного источника тока, который равен току I_K при замыкании накоротко сопротивления r ₅ (рис. 1.42,г). Ток I_K можно вычислить различными способами, например, методом контурных токов: (r ₁ + r ₂ ) · I _I – r ₁· j = - Е;

(r ₃ + r ₄ ) · I _II – r ₃· j = 0.

Подставляя числовые значения и решая эти уравнения, найдём:

I _I = 21,1 мА; I _II = 44,4 мА; j_ЭКВ = I _II – I _I = 23,3 мА.

Затем рассчитаем внутреннюю проводимость g_ЭКВ источника тока. Она равна проводимости пассивной цепи между зажимами а и b при разомкнутой ветви с r ₅ (рис. 1.42,ж); ветвь, содержащая источник тока, показана разомкнутой, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико:

g_ЭКВ = + = См; r _ЭКВ = = 6 кОм.

На рис. 1.42,д приведена схема эквивалентного источника тока относительно зажимов а и b. Из неё находим искомый ток

I ₅ = j_ЭКВ · = 23,3· = 10 мА.

Решение. Вариант 3

Преобразуем треугольник сопротивлений r ₃ r ₄ r ₅ в эквивалентную звезду (рис. 1.42,з). Её сопротивления равны:

r_а = = кОм; r_b = кОм; r_d = кОм.

Полученная схема содержит всего два узла О и с. Узловое напряжение в соответствии с методом двух узлов (см. задачу 1.30):

U_cO = = = 198 B.

Обращаем внимание на то, что в знаменателе последнего выражения отсутствует слагаемое, учитывающее сопротивление r_d. Это связано с тем, что сопротивление источника тока бесконечно велико и прибавление к нему конечного сопротивления r_d не изменило бы бесконечно большое сопротивление ветви источника тока. По закону Ома найдём токи

I ¢ = = = 20 мА; I ¢¢ = = = 30 мА

и напряжение между точками а и b U_аb = I ¢ r_а – I ¢¢ r_b = (20·64 – 30·8)/13 = 80 B.

Наконец, определяем искомый ток I ₅ = = = 10 мА.