Непрерывные случайные величины и их характеристики

Если значение, которые может принимать данная случайная величина , заполняет целый конечный или бесконечный промежуток числовой оси, то случайная величина называется непрерывной.

Непрерывную случайную величину невозможно задать с помощью ряда или многоугольника распределения, потому что множество ее возможных значений бесконечно.

Для характеристики непрерывной случайной величины целесообразно использовать не вероятность события , а вероятность события , где — некоторое действительное число.

Если изменяется произвольно, то вероятность выполнения неравенства в общем случае будет изменяться.

Итак, является функцией аргумента .

Функцией распределения непрерывной случайной величины называется функция , которая задает вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше чем , то есть

.

называют интегральной функцией распределения.

Непрерывную случайную величину можно задать также с помощью функции, которая называется плотностью распределения.

Дифференциальной функциейраспределенияили плотностью распределения вероятностей называется первая производная интегральной функции распределения, то есть .

График дифференциальной функции распределения называется кривой распределения. Вероятность того, что в результате испытания случайная величина получит значение, которые принадлежит интервалу , можно найти по формуле:

.

Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью 0 х и прямыми , .

Свойства плотности распределения :

1) , для всех ;

2) ;

3) ;

4) .

Если случайная величина Х определена в интервале , а — функция плотности распределения вероятности, то

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения

.

Для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины используют более удобную формулу

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины, как и для величины дискретной, определяется равенством

.

Начальный теоретический момент порядка непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Центральный теоретический момент порядка непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Если все возможные значения принадлежат интервалу , то

; .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты формулами:

;

и т.д.

Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения, то есть асимметрией называется отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратичного отклонения:

.

Центральный момент четвертого порядка характеризует эксцесс (крутизна)распределения и выражается равенством

.