Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть в плоскости имеем аффинную систему координат и задано геометрическое преобразование, переводящее произвольную точку в точку . Тогда координаты и точки однозначно определяются координатами и точки , т.е. являются функциями от и :
, (3.1)
Теорема: геометрическое преобразование (3.1) плоскости тогда и только тогда является аффинным преобразованием, когда аффинные координаты и , преобразованной точки являются линейными функциями координат и исходной точки :
(3.2)
причем, , т.е.
.
Доказательство: покажем, что каждое преобразование (3.2) является аффинным.
Из уравнения (3.2) определим координаты и исходной точки :
, (3.3)
. (3.4)
Выражения (3.3 и (3.4) можно получить следующим образом:
– запишем нижнее уравнение (3.2) в виде
,
которое подставим в верхнее уравнение (3.2) и получим
,
– аналогично для определения из нижнего уравнения (3.2) сначала имеем
,
а, подставляя последнее в верхнее уравнение (3.2), получаем
.
Полученные зависимости показывают линейность и от и :
(3.5)
где
, , ;
, , .
Попутно отметим, что преобразование (3.2) переводит точки , , , соответственно в точки , , , имеющие координаты: , ; , ; , .
Тогда точки, координаты которых удовлетворяют уравнению первой степени (прямой линии)
(3.6)
перейдут в точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
, (3.7)
где , , .
Таким образом, преобразование (3.2) переводит любую прямую (3.6) плоскости снова в прямую, т.е. является аффинным.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 416 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!