 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Занятие 14. Задача оптимального управления (продолжение)
|
|
Пример 1. Решить экстремальную задачу:
.
Решение: Приведем поставленную задачу к задаче оптимального управления. Для этого вместо функции 
введем вектор-функцию 
и управление 
, где 
, 
Тогда получим задачу:
,
.
Составим функцию Лагранжа задачи:
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана 
:
,
;
б) условия трансверсальности для терминанта
:
,
,
,
;
в) условие оптимальности:
г) условие стационарности функции Лагранжа по 
:
;
д) условие неотрицательности: 
.
Так как 
, то условие стационарности г) можно записать в виде: 
.
Если 
, то 
, либо 
. В последнем случае в силу условия оптимальности опять приходим к равенству .
Из системы уравнений Эйлера получаем: 
. Если при этом 
, то из условий трансверсальности следует 
, т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Если 
, то 
при 
, поэтому 
. Так как 
, то приходим к равенствам 
, откуда 
, что противоречит условию 
. Аналогично придем к противоречию в случае 
. Поэтому 
.
Положим 
. Тогда 
. Так как 
, то либо 
, либо 
. Разберем отдельно эти два случая.
Случай 1. , 
. В силу уравнений Эйлера функция 
является линейной, причем эта функция обязательно должна менять знак в некоторой точке 
на отрезке 
, иначе мы придем к противоречию, как это было при рассмотрении случая . Тогда
и 
.
Из условия оптимальности получаем:
Найдем 
из краевых условий и условия непрерывности функции 
в точке :
,
,
.
Тогда
Найдем 
из краевых условий и условия непрерывности функции 
в точке 
:
,
,
.
Получаем экстремальный элемент
Случай 2. , 
. В силу уравнений Эйлера функция является линейной: 
и 
. В некоторой точке интервала 
функция должна менять знак. Так как 
, то 
при 
и 
при 
.
Из условия оптимальности получаем:
Найдем 
из краевых условий и условия непрерывности функции в точке :
,
,
.
Тогда
Найдем 
из краевых условий и условия непрерывности функции в точке 
:
,
,
.
Т.е., во втором случае нет допустимых экстремалей.
Проведем исследование полученной экстремали. Пусть имеется другой допустимый элемент 
и 
. Доопределим функцию на отрезке 
:
.
В силу условий на левом конце отрезка интегрирования функции 
и в точке 
можно представить в виде:
.
Поскольку 
, то
, (1)
Причем равенство здесь возможно только, если во всех точках непрерывности 
.
Аналогично, с учетом условий на правом конце отрезка интегрирования
.
Так как 
, то
, (2)
причем равенство здесь возможно только, если во всех точках непрерывности 
.
Из (1) и (2) следует, что 
, следовательно, 
. Отсюда 
.
Ответ: 
. ●
Задача, рассмотренная в примере 1, является частным случаем простейшей задачи о быстродействии, вошедшей во многие монографии по оптимальному управлению. Это задача о наибыстрейшей остановке лифта в шахте. Лифт управляется под действием внешней силы, которая может изменяться в заданных пределах, регулируемых человеком. Предполагается, что возможности действующей силы, а, следовательно, и ускорения, ограничены какой-то величиной, например, ускорение может изменяться от -1 до +1. Требуется за кратчайшее время остановить лифт 
, для определенности в начале координат 
. Задача формализуется следующим образом:
.
Аналогично формализуется задача о машине, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге. Машина может двигаться в любую сторону с ускорением, не превышающим единицу. Требуется остановить машину в определенном месте за кратчайшее время.
Пример 2. Решить экстремальную задачу:
.
Решение: Сведем поставленную задачу к задаче оптимального управления. Для этого введем вектор-функцию и управление , где , . Тогда получим задачу:
.
Составим функцию Лагранжа задачи:
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана
:
,
;
б) условия трансверсальности для терминанта
:
,
,
,
;
в) условие оптимальности:
;
г) условие неотрицательности: .
Если , то из условий а) и б) следует, что 
. Условие оптимальности примет вид: 
.
Если 
, то 
, а из б) следует, что 
, т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Если , то при 
, следовательно, 
, тогда решения задачи на минимум мы не получим. Если , то 
при , следовательно, 
.
Так как 
, то 
. Далее, используя краевые условия для функции 
, получим противоречивую систему равенств:
,
.
Следовательно, . Положим . Тогда условие оптимальности примет вид:
Из уравнений Эйлера и условий трансверсальности получаем 
.
Если , то 
. Используя краевые условия задачи, придем к противоречию.
Если 
, то 
и опять придем к противоречию.
Рассмотрим случай . Тогда функция убывает на отрезке 
и принимает неотрицательные значения. При этом график функции 
обязательно должен пересечь прямую 
в некоторой точке 
на интервале 
(рис 14.1), иначе 
, 
, и краевые условия снова не выполняются. Тогда
Рис. 14.1
Найдем неизвестные величины 
из краевых условий задачи и непрерывности функций 
в точке :
;
;
;
;
;
.
Решая полученную систему уравнений, находим: 
, 
. Откуда получаем
С помощью непосредственной проверки покажем, что полученная функция 
доставляет в задаче абсолютный минимум.
Рассмотрим допустимую функцию 
. В силу ограничений задачи получим условия на функцию 
:
.
В частности 
при 
.
Оценим разность 
:
.
Справедливо равенство:
.
Учитывая, что 
и полагая 
, получим:
.
Следовательно, 
и 
.
Ответ:
. ●
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 236 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
