Пример 1. Решение: Составим Лагранжиан задачи:

.

Решение: Составим Лагранжиан задачи: . Выпишем необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:

.

Если , то из уравнения Эйлера получим, что , следовательно, вектор множителей Лагранжа получается нулевым. Поэтому . Положим . Тогда

.

Неизвестные постоянные найдем из граничных условий и изопериметрического условия:

,

,

.

Откуда получаем: . Единственная допустимая экстремаль задачи имеет вид: .

Покажем с помощью непосредственной проверки, что доставляет абсолютный минимум в задаче, т.е. покажем, что для любой допустимой функции выполнено неравенство . Возьмем функцию такую, чтобы функция была допустимой. Из ограничений задачи получим условия, которым должна удовлетворять функция :

,

,

.

Рассмотрим разность :

.

Таким образом, для любой допустимой функции разность неотрицательна. Поэтому найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум и

.

Можно показать, что . Действительно, рассмотрим последовательность допустимых функций

.

Тогда

при .

Ответ: . ●

В качестве следующего примера приведем классическую изопериметрическую задачу о нахождении замкнутой кривой, имеющей заданную длину и охватывающую наибольшую площадь. Еще до Аристотеля (IV век до н.э.) было известно, что среди всех изопериметрических (имеющих равную длину) кривых наиболее вместимой является окружность. Изопериметрическая задача содержится также в легенде о царице Дидоне. Описываемые события легенда относит к 825 году до н.э.

Финикийская царица Дидона со своей свитой, спасаясь от преследований, покинула родной город и отправилась в путь на корабле на Запад вдоль берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском побережье удобное место, Дидона и ее спутники решили основать в выбранном месте свой город. Местным жителям эта идея не понравилась, но, тем не менее, финикийской царице удалось уговорить местного предводителя, и он неосторожно согласился уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей шкурой». Хитрая финикиянка разрезала шкуру на тонкие ремни, связала их в один длинный ремень и, окружив им значительную территорию, заложила на ней город Карфаген.

Таким образом, Дидона «решала» классическую изопериметрическую задачу о наибольшей вместимости. Если предположить, что Дидона хотела сохранить выход к морю, то получим первую задачу Дидоны: среди всех кривых длины с концами на фиксированной прямой, найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади (рис. 10.1). В рамках рассматриваемой в этом занятии постановки задачи решим вторую задачу Дидоны, в которой оба конца кривой закреплены на прямой.

Рис. 10.1