Пример 2. Задача Дидоны

.

Решение: Составим Лагранжиан задачи: .

Выпишем уравнение Эйлера:

.

Случай 1: . Тогда (в противном случае обращается в ноль вектор множителей Лагранжа), следовательно,

.

С учетом граничных условий:

,

,

Откуда следует, что .

Из изопериметрического условия тогда получим:

.

Таким образом, если , то .

Случай 2: . Тогда

.

Из последнего уравнения выразим :

.

Проинтегрируем по последнее уравнение:

.

Получили уравнение окружности.

Найдем неизвестные постоянные из ограничений задачи:

,

.

Откуда получаем:

, . (3)

Учитывая изопериметрическое условие, получим:

. (4)

Введем обозначение: . Тогда равенство (4) примет вид: .

Последнее уравнение имеет отличное от нуля решение, если

.

При выполнении этого условия из равенства (4) находим , а затем из уравнения (3) определяем . Подведем итоги.

Если , то в задаче имеется единственная экстремаль, лежащая в верхней полуплоскости и являющаяся дугой окружности, проходящей через точки , с центром на оси (рис. 10.2).

Если , то .

Если , то в задаче нет допустимых функций.

Если , то в задаче нет допустимых экстремалей. ●