 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Занятие 12. Задача Лагранжа
|
|
Все задачи, рассмотренные ранее, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче, поставленной Лагранжем в сочинении «Аналитическая механика» в 1788 году. Для ее решения Лагранж использовал метод неопределенных множителей, который впоследствии стали называть методом множителей Лагранжа.
Постановка задачи. Рассмотрим пространство 
- множество вектор-функций 
, где функции 
имеют непрерывные производные на конечном отрезке 
.
Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача:
,
. (1)
Здесь 
, 
- заданный конечный отрезок,
Условие (1), называемое дифференциальной связью, может быть наложено не на все координаты вектор-функции , а только на некоторые, например, на первые 
координат:
.
Обозначим 
, где
.
Если дифференциальная связь отсутствует, то 
и 
. Так как вместо 
в функции 
можно подставить 
, то в дальнейшем считаем, что 
.
Определение. Элемент , для которого выполнены все указанные условия и ограничения, называется допустимым. ▲
Определение. Говорят, что допустимый элемент 
доставляет слабый локальный минимум в поставленной задаче, если 
такое, что для любого допустимого элемента , удовлетворяющего условиям 
, 
, выполнено неравенство 
. ▲
Теорема. Пусть доставляет слабый локальный минимум в задаче, функции 
непрерывны в некоторой окрестности множества 
, функции 
непрерывны в некоторой окрестности множества 
, а функции 
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
.
Тогда найдутся множители Лагранжа 
такие, что для функции Лагранжа задачи
,
где
выполнены условия:
а) стационарности по 
- уравнение Эйлера для лагранжиана
:
;
б) трансверсальности по для терминанта
:
;
в) стационарности по 
(только для подвижных концов отрезка интегрирования):
,
;
г) дополняющей нежесткости:
;
д) неотрицательности: 
. ■
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Решить задачу классического вариационного исчисления:
.
Решение: Рассматриваемая задача не является изопериметрической, так как отсутствует граничное условие для функции 
в точке 
. Будем решать поставленную задачу как задачу Лагранжа. Составим функцию Лагранжа задачи:
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для лагранжиана 
;
б) условия трансверсальности для терминанта 
,
.
Если 
, то из а) и б) следует, что 
, т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому 
. Положим 
. Тогда из уравнения Эйлера получим
.
Найдем неизвестные константы 
из ограничений задачи и условий трансверсальности:
;
;
;
.
Решая полученную систему уравнений, находим:
.
Таким образом, в задаче имеется единственная допустимая экстремаль
.
Проведем исследование полученного решения. Возьмем допустимую функцию 
. Из условий задачи получим ограничения для функции 
:
;
.
Оценим разность 
:
.
Так как для любой допустимой функции 
разность неотрицательна, то найденная экстремаль 
доставляет в задаче абсолютный минимум.
При этом 
.
Покажем, что 
. Действительно, для допустимой последовательности функций 
получим
при 
.
Ответ:
. ●
Пример 2. Решить задачу классического вариационного исчисления:
Решение: Сведем поставленную задачу к задаче Лагранжа. Для этого вместо функции введем вектор-функцию 
, где 
. Тогда получим задачу:
. (2)
Здесь условие (2) записано в виде дифференциальной связи.
Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) система уравнений Эйлера для лагранжиана
,
;
б) условия трансверсальности для терминанта
,
,
,
.
д) условие неотрицательности 
.
Если , то из а) следует, что 
, а из б) следует, что 
, т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Поэтому . Положим . Тогда
.
Так как 
, то
Найдем неизвестные величины 
:
,
,
.
Следовательно, 
. Откуда получаем единственную допустимую экстремаль 
.
Покажем с помощью непосредственной проверки. Что функция 
доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем допустимую функцию . В силу ограничений задачи 
. Рассмотрим разность :
.
Следовательно, 
, 
.
Покажем, что . Действительно, для допустимой последовательности элементов 
получим:
при .
Ответ: , 
. ●
Пример 3. Решить задачу классического вариационного исчисления:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для лагранжиана 
;
б) условия трансверсальности для терминанта 
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по 
.
д) неотрицательности .
Если , то из а) и б) следует, что , т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому . Положим . Тогда из уравнения Эйлера получим:
.
Найдем неизвестные величины 
из условий б), в) и ограничений задачи:
,
, (3)
,
. (4)
Из (3) и (4) следует равенство 
. Откуда получаем либо 
, либо 
.
Случай 1: 
.
В этом случае 
.
Случай 2:
.
Откуда получаем экстремальный элемент 
.
Проведем исследование полученных решений. Рассмотрим допустимый элемент 
, где 
. Из ограничений задачи получим условия на 
и 
:
,
. (5)
Для первой экстремали условие (5) примет вид: 
.
Для второй экстремали получим:
.
Оценим разность 
для экстремали, полученной в случае 1:
.
Следовательно, 
.
Оценим разность 
для второй экстремали:
.
Для функции 
, удовлетворяющей условиям 
, 
, имеем:
.
Откуда следует, что 
при 
, 
при 
. Т.е.
.
Покажем, что . Для этого рассмотрим допустимую последовательность элементов 
, где 
. Тогда
при .
Ответ: 
,
, . ●
Пример 4. Решить задачу классического вариационного исчисления:
.
Решение: Приведем задачу к форме задачи Лагранжа. Положим . Тогда исходная задача примет вид:
,
Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) система уравнений Эйлера для интегранта 
:
,
;
б) условия трансверсальности для терминанта
:
,
,
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по :
;
д) условие неотрицательности: .
Так как 
и 
, то 
.
Если , то из б) следует, что 
, а из в) получаем , т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому 
. Положим 
. Тогда
.
Найдем неизвестные величины 
:
,
,
,
,
,
,
.
Решая полученную систему уравнений, находим:
.
Следовательно, 
.
Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим допустимый элемент 
, где 
. Из ограничений задачи получим условия, которым должны удовлетворять и 
:
,
,
,
.
Следовательно, 
.
Ответ: . ●
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 515 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
