Пример 4. Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид:

.

Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид:

.

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

,

.

Общее решение уравнения Эйлера имеет вид:

.

Продифференцируем полученную функцию по :

.

Постоянные найдем из условий трансверсальности:

;

.

Решая систему линейных уравнений второго порядка относительно , получим:

.

Исследуем полученное решение. Для этого возьмем произвольную допустимую функцию и рассмотрим разность

.

Заметим, что . Поэтому

.

Следовательно, .

Ответ: . ●