Неравенство Стеклова В.А

Если , то , причем равенство достигается только для функций вида (Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, часть III, М. Наука, 1969, стр. 595).

Покажем, что если и , то

.

Действительно, выполним замену переменной и рассмотрим функцию . Тогда и .

Но , поэтому

,

следовательно, .

Вернемся к поставленной задаче. Так как для любой допустимой функции выполнено неравенство , то найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.

Ответ: . ●

В качестве следующего примера приведем одну из классических задач вариационного исчисления – задачу о брахистохроне, сформулированную в 1696 году Бернулли. Задача состоит в отыскании траектории быстрейшего ската материальной точки под действием силы тяжести между двумя заданными точками и , не лежащими на одной вертикальной прямой. Эта задача была решена самим И. Бернулли, а также Лейбницем, Я. Бернулли и Ньютоном.