![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТ МАКРОЭКОНОМИКИ
Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц
1. Определение 1.1. Число называется собственным значением (числом) матрицы
размеров
, если существует ненулевой
-мерный вектор-столбец, такой что
![]() | (1.1) |
Для того, чтобы число было собственным значением матрицы
, необходимо и достаточно, чтобы оно было решением характеристического уравнения:
![]() | (1.2) |
Матрица может иметь не более
действительных собственных значений.
Замечание 1.1. Собственные числа матрицы и транспонированной матрицы
совпадают.
Замечание 1.2. Если - собственный вектор матрицы
, то любой коллинеарный ему вектор (т. е. вектор вида
) также является собственным вектором матрицы
, причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значению.
2. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц являются важными характеристиками функционирования экономических систем. Особое место среди неотрицательных матриц занимают неразложимые матрицы.
Определение 1.2. Матрица А называется неотрицательной (положительной) и обозначается , если все ее элементы неотрицательны (положительны). Неотрицательная квадратная матрица
размеров
называется разложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду:
![]() | (1.3) |
Замечание 1.3. Любая положительная матрица неразложима.
Замечание 1.4. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит о том, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономная подсистема. Так, если элемент матрицы
показывает какое количество продукции
-ой отрасли используется в
-ой отрасли, то разложимость матрицы
говорит о том, что существует группа отраслей, не использующих продукцию остальных отраслей. Неразложимость матрицы
показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом использует продукцию всех отраслей.
Замечание 1.5. Квадратная матрица размера
разложима тогда и только тогда, когда либо
, либо
.
Действительно, если , то матрица
уже приведена к виду (1.3). Если же
, то меняя местами первую и вторую строку, а затем первый и второй столбец (т. е. перенумеровав индексы) мы приведем матрицу к виду (1.3).
Замечание 1.6. Матрица разложима тогда и только тогда, когда существует матрица
, которая путем перестановок строк может быть приведена к единичной, то есть матрица
есть матрица вида (1.3).
Доказательство этого утверждения мы предлагаем читателю провести самостоятельно.
Замечание 1.7. Из разложимости матрицы в общем случае не следует разложимость матрицы
. Так, например,
- неразложима, а
- разложима.
Теорема 1.1. (Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрица имеет такое собственное значение
, что
для любого собственного значения
матрицы
. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор
, соответствующий собственному числу
. Причем, если
неразложима, то
и
.
Доказательство данного утверждения весьма громоздко и требует привлечения аппарата математического анализа. Поэтому мы приведем его лишь для матрицы размеров .
Действительно, пусть
Характеристическое уравнение для имеет вид:
![]() | (1.4) |
![]() | (1.5) |
![]() | (1.6) |
![]() | (1.7) |
(т. к. , см. (1.5)). Причем
, если
и
(То есть когда матрица неразложима). Итак, возможны четыре случая:
а) если ,
(а это имеет место, в частности, для неразложимых матриц), то
, при
;
б) если ,
, то
, при
;
в) если ,
, то
, при
;
г) если ,
, то
, при
,
.
А это показывает, что во всех случаях существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий
. Причем, для неразложимой матрицы (случай а)
. Теорема доказана.
Определение 1.3. Собственное значение неотрицательной матрицы
называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор
- Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы
.
Пример 1.1. Пусть Данная матрица неразложима. У нее существует два собственных значения: число Фробениуса
, ему соответствует собственный вектор
(он является вектором Фробениуса при
) и собственное значение
, ему соответствует собственный вектор
. Очевидно, что
.
Пример 1.2. Пусть Данная матрица разложима. У нее существует два собственных значения:
- фробениусово число, ему соответствует собственный вектор
(
при
) и собственное значение
, соответствующий собственный вектор
.
Замечание 1.7. Так как собственные значения матриц и
совпадают, то числа Фробениуса данных матриц равны.
Пусть - вектор Фробениуса матрицы
, тогда
.
Транспонируя это равенство, мы получим:
.
(Напомним, что в данном равенстве рассматривается как вектор-стрoка). Поэтому весьма естественно говорить о векторах
и
как о соответственно левом и правом векторах Фробениуса матрицы
.
Следствие 1.1. Если матрица неразложима, то кроме вектора
(определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неотрицательных собственных векторов.
В самом деле, пусть и
. Тогда, умножив это равенство слева на
, получим
![]() | (1.8) |
То есть все неотрицательные собственные векторы будут соответствовать . Более того, в силу Теоремы Фробениуса-Перрона
. Предположим, что векторы
и
- линейно независимы. Т. к. эти векторы определены с точностью до положительного множителя, то мы можем считать, что первая координата у них равна
. Тогда вектор
будет собственным вектором матрицы
, соответствующий
, но первая координата будет равна нулю, что противоречит Теореме Фробениуса-Перрона для неразложимой матрицы, следовательно,
и
- линейно зависимы, т. е.
.
Следствие 1.2. Если , то
.
Следствие 1.3. Пусть , тогда
является числом Фробениуса
.
Следствие 1.4. Если - число Фробениуса матрицы
, то
есть число Фробениуса матрицы
.
Доказательство этих утверждений мы предлагаем провести студентам самостоятельно.
3. Обозначим через - вектор, координата
которого есть сумма элементов
-ой строчки матрицы
, а через
- вектор, координата
которого есть сумма элементов
—того столбца матрицы
. Очевидно, что
а) ![]() ![]() | (1.9) |
Пусть Тогда имеет место
Теорема 1.2. Число Фробениуса неотрицательной матрицы
удовлетворяет условиям:
а) ![]() ![]() | (1.10) |
Доказательство. Пусть - вектор Фробениуса, сумма координат которого равна 1, т. е.
(такой вектор мы можем всегда выбрать, так как, если сумма координат
равна
, то вектор Фробениуса
будет иметь сумму координат, равную 1). Для
мы имеем
.
Умножив это равенство слева на и учитывая (1. 9б), получим
.
Так как , то
.
Отсюда вытекает, что
![]() | (1.11) |
Следствие 1.5. Если все суммы элементов строк (столбцов) неотрицательной матрицы равны одному и тому же числу
(т. е.
или
), то число Фробениуса
равно
.
Пример 1.3. Пусть
,
тогда (т. к. суммы элементов каждого столбца равны 6) и
(т. к. суммы элементов любой строки равны 3).
§2. Модель Кейнса рынка товаров.
1. Пусть - величина совокупного национального дохода некоторой страны,
и
- соответственно объемы потребления и инвестиций. Равновесным национальным доходом
называется национальный доход, равный расходам страны, т. е.
![]() | (2.1) |
![]() | (2.2) |
![]() | (2.3) |
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 2392 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!