![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Пусть - производственная функция, моделирующая зависимость величины выпуска годовой продукции от величины затраченных факторов (ресурсов) производства n
. Оптимальным планом производства
называется точка максимума функции прибыли
![]() | (8.1) |
где - цена единицы выпускаемой продукции (
- функция дохода),
- факторные цены.
Множество уровня производственной функции называется изоквантой, а множество уровня функции затрат (издержек) называется изокостой.
Неоклассическая производственная функция - это функция, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющая следующим аксиомам.
1. Аксиома о неотрицательности выпуска
![]() | (8.2) |
при любых неотрицательных значениях факторов.
2. Аксиома об увеличении выпуска при увеличении любого из факторов, т. e.
![]() | (8.3) |
3. Аксиома убывающей эффективности факторов (убывающей предельной производительности любого фактора)
![]() | (8.4) |
при
![]() | (8.5) |
![]() | (8.6) |
4. Аксиома о невозрастающей отдаче на единицу расширения масштаба производства
![]() | (8.7) |
для любого , где
. Величина
характеризует эффект от расширения масштаба производства. При
говорят об убывающей отдаче на единицу масштаба, а при
- о постоянной отдаче на единицу масштаба.
Замечание 8.1. Функции, удовлетворяющие условию (8.7), называются одно-
родными, при этом называется степенью однородности. При
функцию называю линейно-однородной.
Любая однородная функция удовлетворяет условию
![]() | (8.8) |
называемому формулой Эйлера.
Основные экономико-математические характеристики производственной функции:
1. Средняя производительность -го фактора
![]() | (8.9) |
2. Предельная производительность -го фактора
![]() | (8.10) |
3. Коэффициент эластичности по -му фактору
![]() | (8.11) |
Наибольшее распространение имеют двухфакторные производственные функции , где
- величина затраченного капитала (основных фондов), а
- величина затраченного труда. Для двухфакторных моделей дополнительно выделяются следующие характеристики:
4. Фондовооруженность
![]() | (8.12) |
5. Предельная норма замещения труда капиталом
![]() | (8.13) |
6. (Предельная) эластичность замещения труда капиталом
![]() | (8.14) |
и капитала трудом
![]() | (8.15) |
2. Утверждение 8.1. Пусть - функция доходов, а
- функция затрат. Тогда для оптимального плана производства
:
а) предельная производительность труда равна реальной заработной плате ;
б) предельная фондоотдача равна реальной рентной плате ;
в) предельная норма замены труда капиталом равна отношению факторных цен.
Доказательство. Вычислив частные производные функции прибыли в точке
имеем
![]() | (8.16) |
![]() | (8.17) |
Отсюда находим:
а) ![]() ![]() ![]() | (8.18) |
3. Утверждение 8.2. Пусть - неоклассическая производственная функция степени однородности
, тогда
а) ![]() | (8.19) |
б) есть норма издержек.
Доказательство. а) Рассмотрим формулу Эйлера для функции
![]() | (8.20) |
Разделив обе части формулы (8.20) на , находим
.
Отсюда, на основании определения коэффициентов эластичности по труду и капиталу, получаем (8.19). Из (8.19), в частности вытекает, что неоклассическая производственная функция неэластична ни по труду, ни по капиталу, т. е.
а) ![]() ![]() | (8.21) |
Действительно, т. к. и
(на основании аксиом 1 и 2) и
, то
и
.
б) Подставляя в (8.20) выражения и
из (8.18а) и (8.18б) соответственно, находим
,
т.е. - норма издержек. Здесь
- величина издержек, а
- величина дохода. В частности,
есть норма прибыли.
4. Утверждение 8.3. В неоклассической модели уровень занятости есть убывающая функция от реальной заработной платы.
Доказательство. Пусть . Тогда из (8.18а) получаем.
.
Дифференцируя последние соотношения по , находим
.
Так как (см. аксиому 3), то
. А, следовательно, на основании теоремы о производной обратной функции
.
5. Утверждение 8.4. Средняя производительность любого фактора неоклассической производственной функции есть убывающая функция от этого фактора.
Доказательство. Дифференцируя (8.9) по , имеем
.
Так как ,
,
(неоклассическая производственная функция неэластична по любому фактору, см. (8.21)), то
.
6. Утверждение 8.5. В точке максимума прибыли норма прибыли имеют нейтральную эластичность.
Доказательство. Пусть - количество выпускаемой продукции,
- величина прибыли,
- норма прибыли, т. е
. В точке максимума прибыли имеем
.
Отсюда получаем, что , т.е.
. Это говорит о нейтральной эластичности нормы прибыли.
Пример 8.1. Пусть - зависимость между ценой и количеством выпускаемой продукции,
и
- соответственно норма переменных издержек и постоянные издержки. Найти оптимальный план выпуска продукции в предположении, что производитель стремится максимизировать прибыль.
Решение. Из условия задачи следует, что величина дохода производителя равна , а издержек -
. Таким образом, прибыль
в нашем случае равна
т. е.
. Вычислив производную от
, имеем в точке экстремума
. Следовательно,
. Причем, т. к.
, то
- точка максимума.
Пример 8.2. Пусть единица продукции предприятия, рассмотренного в предыдущем примере, облагается акцизным сбором в размере . Найти, при какой величине
суммарный сбор
будет максимален.
Решение. Необходимо найти максимум функции при условии, что предприятие тоже будет стремиться максимизировать свою прибыль. В отличие от предыдущего примера прибыль предприятия уменьшается на величину
, т. е.
. Вычислив производную и приравняв ее к нулю, получим в точке максимума
, т. e.
. Поэтому,
.
Следовательно, . Так как в точке максимума
, то
. При этом
, т. е. в два раза меньше, чем в предыдущей задаче.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 348 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!