распределения Стьюдента

Из рисунка 11 видно, что площадь под графиком каждого из симметричных «хвостов» будет равна , тогда значения границ интервала совпадут с квантилями и .

В таблице П 4 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы . Можно также использовать функцию СТЬЮДРАСПОБР пакета прикладных программ EXCEL.

Таким образом, получаем: или

.

Подставив в полученное неравенство значения , , , и разрешив это неравенство относительно , получим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины с неизвестной дисперсией и заданным уровнем значимости : .

Решение. Пункт 9 части 1 Задания.

Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами и для уровней значимости , и при неизвестной дисперсии.

При построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы. Общее уравнение доверительного интервала в данном случае имеет вид:

.

Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.

: , ,

– число степеней свободы.

Так как в таблице П 4 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисления можно воспользоваться следующим методом:

Статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР пакета EXCEL дает значение квантили . Нужно иметь в виду, что в EXCEL вычисляются значения двусторонних «антиквантилей» . Поэтому чтобы получить значение односторонней квантили , нужно в этой функции задать вероятность (см. справку к функции СТЬЮДРАСПОБР).

В дальнейших расчетах используем значения, даваемые EXCEL.

, ,

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости :

2,8264<m<3,5816

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью .

Аналогично найдем доверительные интервалы для математического ожидания для уровней значимости и .

: , , ,

, ,

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости :

2,752<m<3,655

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью .

: , , ,

, ,

.

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости :

2,6068<m<3,8012

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью .

1.9.2. Определим теперь доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости .

В этом случае рассматривается статистика , имеющая распределение с степенями свободы, где – объем выборки.

Будем искать доверительную область в виде:

.

Рис. 12

Квантили распределения

Как и в предыдущем случае, будем считать площади под «хвостами» кривой распределения равными по каждая (рис. 12).

Тогда границы интервала совпадут с квантилями:

, .

В таблице П 5 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы . Можно также использовать функцию ХИ2ОБР пакета прикладных программ EXCEL.

Таким образом, получаем

.

Подставив в полученное неравенство значения , , , и разрешив это неравенство относительно , получим доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости :

.

Следует отметить, что если математическое ожидание генеральной совокупности известно, то доверительный интервал для дисперсии будет иметь другой вид.

Длина доверительного интервала характеризует точность оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности . Чем меньше длина доверительного интервала, тем надежнее оценка. При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается.

Решение. Пункт 9 части 1 Задания.

Требуется построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами и для уровней значимости , и .

Для построения доверительного интервала для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика , имеющая распределение с степенями свободы: .

Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.

: , , .

Так как в таблице П 5 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисления можно воспользоваться следующим методом:

Статистическая функция ХИ2ОБР пакета EXCEL дает следующие значения квантилей распределения хи- квадрат:

, .

Следует иметь в виду, что в функции ХИ2ОБР вычисляются «антиквантили» . Чтобы получить значение квантили , нужно ввести обратную вероятность .

В дальнейших расчетах используются значения квантилей, вычисленные в EXCEL:

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости :

4,154< <6,6445

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью .

Аналогично найдем доверительные интервалы для дисперсии для уровней значимости и .

: , , ,

, ,

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости :

4,0816< <6,9784

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью .

: , , ,

, ,

Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для дисперсии для уровня значимости :

3,6832< <7,6982

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью .

Заметим, что полученные ранее выборочное среднее , и выборочная дисперсия =2,273897 попадают во все найденные доверительные интервалы соответственно, причем, чем меньше уровень значимости , то есть больше вероятность , тем больше длина соответствующего доверительного интервала.