Проверка статистических гипотез. Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или о параметрах распределения генеральной совокупности

Для получения обоснованных выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах случайных величин необходимо проверить гипотезу о соответствии эмпирической функции распределения одному из известных теоретических законов.

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или о параметрах распределения генеральной совокупности. Например, статистическими являются гипотезы:

1. генеральная совокупность распределена по нормальному закону или любому другому конкретно заданному закону (гипотеза о виде распределения);

2. если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то параметры нормального закона равны выборочным характеристикам: , (параметрическая гипотеза).

Гипотезу о виде распределения выдвигают на основе схожести гистограммы или полигона частот с соответствующей кривой одного из теоретических законов (нормального, равномерного, Пуассона и т. п.).

Когда предположение о виде распределения генеральной совокупности принято, следует проверить гипотезу о параметрах этого распределения.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Альтернативными называют гипотезы, которые противоречат нулевой. Если отвергается , то принимается одна из альтернативных гипотез. При проверке статистических гипотез могут быть допущены ошибки двух родов с вероятностями:

1. – вероятность отклонить гипотезу , при условии, что она верна (ошибка первого рода);

2. – вероятность принять гипотезу , при условии, что она неверна (ошибка второго рода).

Например, в радиолокации – вероятность пропуска сигнала, – вероятность ложной тревоги.

Ясно, что чем меньше будут ошибки первого и второго рода, тем точнее статистический вывод. Однако при заданном объеме выборке одновременно уменьшить и невозможно. Единственный способ одновременного уменьшения и состоит в увеличении объема выборки.

Если формулируется только одна гипотеза и требуется проверить, согласуются ли статистические данные с этой гипотезой или они ее опровергают, то критерии, используемые для этого, называют критериями согласия. В таких критериях не выставляется конкретная альтернативная гипотеза.

Прежде, чем привести схему статистической проверки гипотез, дадим используемые ниже определения новых понятий.

Статистикой критерия называется специально подобранная функция выборки , которая служит для проверки гипотезы . Статистика является мерой расхождения экспериментальных данных с гипотетическим распределением.

Как правило, перед анализом выборки задается уровень значимости – вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы. Обычно полагают , , .

Критической областью называется совокупность значений статистики, при которых нулевая гипотеза отвергается. Обычно критическую область выбирают из условия . Критическую точку критерия находят по соответствующим таблицам.

Схема статистической проверки гипотезы по критерию согласия:

1) формулировка нулевой гипотезы;

2) выбор уровня значимости ;

3) выбор статистики и соответствующего критерия;

4) определение критической области и области принятия гипотезы;

5) вычисление выборочной статистики и проверка гипотезы;

6) принятие статистического решения.