Критерий согласия Пирсона

Для проверки гипотез о виде распределения применяются различные критерии согласия: («хи- квадрат») К. Пирсона, критерий Колмогорова, критерий Смирнова и др. Наиболее удобным и универсальным критерием является критерий Пирсона. Он совершенно не зависит ни от вида распределения случайной величины, ни от ее размерности.

Ограничимся описанием применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений).

Схема применения критерия согласия :

1). Выдвигается гипотеза : генеральная совокупность имеет нормальное распределение с плотностью вероятностей:

с параметрами , , то есть выборочное среднее и модифицированная выборочная дисперсия принимаются соответственно за математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины.

2). По выборке наблюдений случайной величины составляется группированный вариационный ряд (таблица 4).

3). Вычисляются вероятности попадания значений случайной величины в -тый интервал.

Для нормального закона

.

Здесь – функция распределения нормального закона , значения которой находят по таблицам.

4). Вычисляется выборочное значение статистики критерия :

,

где – число интервалов разбиения выборки; – объем выборки; – частота -того интервала; – теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в -тый интервал.

К. Пирсон доказал, что эта статистика независимо от вида распределения генеральной совокупности при имеет - распределение с степенями свободы, где – число интервалов разбиения, – число оцениваемых параметров гипотетического закона распределения. Для нормального закона (параметры и ).

5). Областью отклонения (критической областью) гипотезы называется такая область, при попадании в которую статистики гипотеза отклоняется. Область отклонения выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее величины , когда гипотеза верна, была равна уровню значимости a. Тогда критическая точка , ограничивающая область , определяется из уравнения:

.

Из этой формулы следует, что критическая точка равна с квантили распределения Пирсона , отвечающей вероятности с числом степеней свободы (таблица П 5 Приложения).

Таким образом, если вычисленная выборочная статистика , то гипотеза принимается. Если , то гипотеза отвергается.

Область принятия критерия имеет вид, представленный на рис. 10.

Выбор области принятия гипотезы можно объяснить следующим образом: значения теоретических вероятностей и относительных частот интервалов должны быть достаточно близки, поэтому разности не должны быть слишком велики.

Рис. 10