Формула полной вероятности и формула Байеса. Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятнос­тей интересующих нас событий

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятнос­тей интересующих нас событий. Затем из источни­ков информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать зна­чения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас собы­тий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может осуществиться лишь вме­сте с одним из событий Н ₁, Н ₂, H₃,..., H_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н ₁), Р(Н ₂),..., Р(Н _i),..., Р(Н _n). Так как события Н _i образуют полную группу, то

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Н _i произойдет событие А, то события Н _i, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Н _i с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вмес­те с одним из событий Н ₁ ,Н ₂ ,Н ₃,..., Н _n, образую­щих полную группу несовместных событий и на­зываемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н ₁, Н ₂,..., Н _n на соответствующую ус­ловную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле

или

Это — формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе — формула полной вероятности.