Вправи для повторення 3 страница

1191. а) б)

Примітка. Рівняння систем містять 3 змінні: х, у і z. Розв’язати такі системи означає знайти всі значення змінних х, у і z, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність.

1192. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень параметра а?

1193. Для яких значень а система рівнянь має два розв’язки?

1194. Дано 10 чисел. Відомо, що сума будь-яких дев’яти із цих чисел дорівнює 1. Чому дорівнює сума усіх даних чисел?

1195. Двома паралельними залізничними коліями рухаються назустріч один одному два поїзди. Довжина першого поїзда дорівнює 130 м, а другого ¾ 104 м. Зустрівшись, поїзди протягом 4,68 с йшли один повз другий. Якби поїзди рухалися в одному напрямі й перший поїзд переганяв другий, то вони йшли б один повз другий протягом 46,8 с. Знайдіть швидкість кожного поїзда.

Логічні задачі

1196. До вершини гори ведуть сходи, що мають 1001 сходинку. На найнижчих 500 сходинках лежать камені — по одному на сходинці. Сізіф може взяти довільний камінь і перенести його вгору, але не далі як на найближчу вільну сходинку. Після цього Аїд може скотити вниз на одну сходинку довільний камінь, якщо попередня сходинка є вільною. Сізіф та Аїд діють по черзі. Починає Сізіф, і його мета — покласти камінь на верхню сходинку. Чи може Аїд цьому завадити?

1197. На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 21. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати їх різницю (якщо стерли числа а і b, то можна написати число а – b або число b - а). Повторивши цю операцію 20 разів, одержимо одне число. Чи може це число дорівнювати: а) 1; б) 0?

1198. Книга має 320 сторінок. Чи можна вибрати деяких 15 аркушів цієї книги так, щоб сума номерів вибраних 30 сторінок дорівнювала 1500?

1199. П’ять рибалок наловили 9 рибин. Доведіть, що принаймні двоє з них наловили рибин порівну.

1200. Двоє з чотирьох друзів завжди кажуть правду, а двоє — завжди брешуть. Одного разу відбулася така розмова.

Другий до першого: «Ти брехун».

Третій до другого: «Сам ти брехун».

Четвертий до третього: «Обидва вони брехуни, як і ти, до речі».

Хто з них каже правду?

1201. Чи можна з 82 куль, кожна з яких має певний колір, вибрати 10 куль так, щоб усі вони мали різні кольори або деякий один колір?

1202. В абетці мови острова Абаба є лише дві букви а і б. Ім’я будь-якого жителя острова можна одержати, замінюючи у слові Абаба записані підряд букви аб на ббб, ба — на ааб, чи бб — на ааа (заміну можна робити кілька разів). Чи є на острові житель з ім’ям Бааабба?

ВІТЧИЗНЯНІ МАТЕМАТИКИ

Феофан Прокопович (1681–1736)

Феофан Прокопович — один з найвідоміших мислителів кінця XVII ­– початку XVIIІ ст., професор та ректор Києво-Могилянської академії, державний та церковний діяч. Філософ і математик, поет і публіцист, він залишив значну кількість творів. Писав латинською, українською, російською, польською мовами, робив переклади книг і коментував їх. Феофан Прокопович був найосвіченішою людиною свого часу. Так, у його бібліотеці було близько 30 тисяч книг, написаних різними мовами.

Народився Феофан Прокопович у Києві 7 червня 1681 року в родині крамаря. Він рано втратив батьків, і його опікуном став дядько по матері, виборний ректор Києво-Могилянської академії Феофан Прокопович (Перший). Дядько віддав свого семирічного небожа до початкової школи при
Києво-Братському монастирі, а через три роки — до Києво-Могилянської академії. В роки навчання в академії молодий Прокопович був одним із кращих учнів, не раз перемагав у наукових диспутах.

Прагнучи поглибити свої знання, сімнадцятирічний Феофан Прокопович вирушив у традиційну для того часу освітню мандрівку. Два роки перебував у Львові, читав студентам лекції з поетики та риторики. Відтак вирушив до Рима, де став учнем колегіуму св. Афанасія.

У 1702 році Феофан Прокопович повертається пішки в Україну. З 1704 року він працює в Києво-Могилянській академії, де викладає філософію. Його улюбленим предметом була математика. Тож не дивно, що у курс філософії він включив два математичні курси — арифметику й геометрію, створивши оригінальні підручники із цих предметів.

У 1707 році Феофана Прокоповича обирають префектом (заступником ректора), з 1711 до 1715 року він був ректором Києво-Могилянської академії. У 1715 році за викликом царя Феофан Прокопович мусив вирушити до Петербурга, де брав участь у створенні Петербурзького університету та Російської академії наук. У 1721 його призначають віце-президентом найсвятішого синоду.

Найзначнішою математичною роботою Феофана Прокоповича є курс лекцій з математики «Арифметика і геометрія, два перші й найбільш плодовиті початки математичних наук, пояснені у Києво-Могилянській академії…», теоретичні відомості в якому на той час були найповнішими в царській Росії.

Михайло Васильович Остроградський (1801–1861)

Почесне місце в історії математики посідає наш співвітчизник Михайло Остро­градський. Він був членом Туринської, Петербурзької, Римської, Американської та Французької Академій Наук. Слава його була настільки великою, що батьки, бажаючи заохотити своїх дітей до навчання, переконували їх словами: «Учись, і будеш, як Остроградський».

Михайло Остроградський народився 1801 року на Полтавщині в сім’ї поміщика. Вже в дитячому віці він проявляв дивовижну допитливість та спостережливість, проте вчився в Полтавській гімназії, куди його віддали у дев’ять років, посередньо з усіх предметів. Михайло мріяв про військову кар’єру й дуже зрадів, коли батько вирішив забрати його з гімназії і влаштувати в один із гвардійських полків. В останній момент за порадою одного з родичів, який помітив неабиякі здібності хлопця, було вирішено продовжити навчання. У шістнадцять років Остроградський став студентом Харківського університету.

У 1818 році Остроградський склав іспити за повний курс університету, а в 1820 році склав іспити на звання кандидата наук. Проте університетська влада, вважаючи Остроградського «неблагонадійним», відмовилася присуджувати йому вчений ступінь і навіть позбавила диплома про закінчення університету.

І все ж Остроградський став відомим ученим, академіком. Невдача лише розпалила в ньому бажання наполегливо працювати. Він їде до Парижа і там відвідує лекції Коші, Лапласа, Пуассона та інших визначних математиків. Спілкування з французькими вченими, вивчення їхніх праць приводить згодом Остроградського до власних відкриттів. Його роботи публікуються в журналі Паризької Академії наук. Чутки про неабиякі успіхи Остроградського дійшли до Батьківщини.

У 1828 році Остроградський повернувся у царську Росію. У Петербурзі він викладав математику в Головному педагогічному інституті, Морському кадетському корпусі та в Михайлівському артилерійському училищі.

Михайло Остроградський написав багато математичних праць, серед яких є праці з алгебри та теорії чисел, він є автором кількох підручників, а теореми, формули Остроградського вивчають студенти математичних спеціальностей усіх університетів світу.

Дмитро Олександрович Граве (1863–1939)

Дмитро Граве народився 1863 року в місті Кирилове поблизу Вологди (Росія), закінчив фізико-математичний факультет Петербурзького університету (1885). Будучи студентом, Дмитро Граве захоплювався науковою роботою, був ініціатором видання журналу «Записки фізико-матема­тичного гуртка Петербурзького університету», де були надруковані перші його праці. Після захисту магістерської роботи у 1889 році Граве стає приват-доцентом Петербурзького університету.

У 1897 році Дмитро Граве захистив докторську дисертацію і переїхав до України. Спочатку він працював професором Харківського університету та Харківського технологічного інституту.

1902 року професор Граве очолив кафедру чистої математики Київського університету, де тривала вся його подальша науково-педагогічна діяльність.

У 1905–1915 роках Дмитро Граве розробив кілька навчальних курсів, які належать здебільшого до алгебри та теорії чисел, найвагомішими з яких є «Елементарний курс теорії чисел» й «Елементи вищої алгебри». Він розвинув на математичному відділенні Київського університету семінарську форму занять зі студентами.

Наприкінці 1933 року був організований Інститут математики Академії наук УРСР, першим директором якого став Граве.

Неабиякою заслугою Дмитра Граве було створення першої в Україні всесвітньо визнаної алгебраїчної школи.

Михайло Пилипович Кравчук (1892–1942)

Праці Михайла Кравчука, яких він написав понад 180, належать до різних розділів математики, зокрема до алгебри й теорії чисел. Уведені ним спеціальні многочлени зараз відомі математикам як многочлени Кравчука. Він є автором важливих робіт з історії математики, багатьох підручників для вищої і середньої шкіл. Чимало сил, енергії, таланту віддав Михайло Кравчук освіті, зробив вагомий внесок у розвиток української математичної символіки.

Михайло Кравчук народився 30 вересня 1892 року в селі Човниці (тепер Ківерцівський район Волинської області) в сім’ї землеміра.

У 1910 році золотий медаліст Луцької гімназії стає студентом фізико-математичного факультету Київського університету ім. св. Володимира.

У 1915–1917 роках Кравчук виїздить до Москви на спеціальні студії, де складає магістерські іспити. 1918 року його обирають приват-доцентом Київського університету.

У 1924 році Михайло Кравчук захищає докторську дисертацію. Протягом 1927–1938 років працює у вищих навчальних закладах Києва. З часу створення у Києві Інституту математики (1933 р.) і до початку 1938 року очолює у ньому відділ математичної статистики.

Михайло Кравчук був організатором першої в Україні математичної олімпіади школярів (1935 р.).

У вересні 1938 року Кравчука заарештовано сталінським режимом, його звинувачено в українському буржуазному націоналізмі. Вирок — тюремне ув’язнення терміном на 20 років. Далі — Магадан, де у березні 1942 року Кравчук і помер.

ВІДОМОСТІ З КУРСУ МАТЕМАТИКИ 5–6 КЛАСІВ

Подільність натуральних чисел

1. Будь-яке натуральне число а, на яке ділиться дане натуральне число n, називають дільником числа n.

2. Будь-яке натуральне число n, яке ділиться на дане натуральне число a, називають кратним числу a.

Число 12	дільники: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
кратні: 12; 24; 36; 48;...

3. Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю і це саме число.

4. Число, яке має більше ніж два дільники, називають складеним.

5. Кожне складене число можна записати у вигляді добутку кількох простих чисел, тобто розкласти його на прості множники.

Наприклад: 120 = 2³ · 3 · 5.

6. На 10 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0.

7. На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

8. На 2 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

9. На 3 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

10. На 9 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Найбільший спільний дільник

11. Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел можна розкласти ці числа на прості множники і знайти добуток спільних множників.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСД(144; 66) = 2 · 2 · 3 = 12.

Найменше спільне кратне

12. Найменшим спільним кратним натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел, кожне з них можна розкласти на прості множники, до розкладу одного з чисел дописати з розкладу іншого числа ті множники, яких немає у розкладі першого, і перемножити записані числа.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСК(144; 60) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 720.

Десяткові дроби

13. Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порозрядно. Для цього дроби записують так, щоб відповідні розрядні одиниці й коми були одні під одними.

Наприклад: ; .

14. Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не зважаючи на коми, а потім у добутку відокремити комою стільки десяткових знаків, скільки їх є в обох множниках разом.

Щоб поділити десятковий дріб на десятковий дріб, потрібно в діленому і дільнику перенести коми праворуч на стільки цифр, скільки десяткових знаків має дільник, а потім виконати ділення на натуральне число.

Наприклад: ; = 3,6.

Окремі випадки множення і ділення десяткових дробів:

Звичайні дроби

15. Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж натуральне число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад: .

16. Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

1) знайти найменше спільне кратне знаменників;

2) знайти додаткові множники, поділивши найменше спільне кратне на кожний знаменник;

3) чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник.

Наприклад: зведемо до найменшого спільного знаменника дроби , і :

1) НСК(4; 12; 16) = 48;

2) додаткові множники: 48: 4 = 12; 48: 12 = 4; 48: 16 = 3;

3) ; ; .

17. Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, потрібно до чисельника першого дробу додати чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Наприклад: ; ; .

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно їх спочатку звести до спільного знаменника.

18. Щоб перемножити два звичайні дроби, потрібно перемножити їх чисельники і добуток записати в чисельнику, перемножити їх знаменники і добуток записати в знаменнику.

Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене дільнику.

Наприклад: ; .

19. Щоб звичайний дріб записати десятковим, досить чисельник дробу поділити на його знаменник.

Наприклад: .

20. Щоб знайти дріб від числа, потрібно число помножити на цей дріб.

Наприклад: знайдемо від 45: ;

30% від 140 — це 0,3 від 140: 140 · 0,3 = 42.

Щоб знайти число за даним значенням його дробу, потрібно це значення поділити на дріб.

Наприклад: знайдемо число, якого дорівнює 40:

;

знайдемо число, 17% якого дорівнює 51: 17% = 0,17; 51: 0,17 = 300.

21. Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел, потрібно знайти їх відношення і записати у відсотках.

Наприклад: знайдемо відсоткове відношення чисел 12 і 28:

.

Додатні та від’ємні числа

22. Модулем додатного числа і нуля є це ж число; модулем від’ємного числа є протилежне йому число:

Наприклад: |5,3| = 5,3; |0| = 0; |–1,8| = 1,8.

23. Щоб додати два від’ємних числа, потрібно додати їх модулі й поставити перед отриманим числом знак «–».

Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно знайти модулі чисел, від більшого модуля відняти менший модуль і поставити перед отриманим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Наприклад:

–1,6 + (–2,3) = –3,9; –0,7 + 0,7 = 0; 3,2 + (–4,7) = –(4,7 – 3,2) = –1,5.

24. Щоб від одного числа відняти інше, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Наприклад: –15 – (–9) = –15 + 9 = –6.

25. Щоб знайти добуток двох від’ємних чисел, досить перемножити модулі цих чисел.

Щоб знайти добуток двох чисел з різними знаками, досить перемножити їх модулі і поставити перед одержаним числом знак «–».

Наприклад: (–1,1) · (–0,9) = 1,1 · 0,9 = 0,99;

26. Щоб знайти частку двох від’ємних чисел, досить поділити модуль діленого на модуль дільника.

Щоб знайти частку чисел з різними знаками, досить поділити модуль діленого на модуль дільника і поставити перед одержаним числом знак «–».

Наприклад: –105: (–21) = 105: 21 = 5;

27. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», потрібно опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які були в дужках, зі своїми знаками:

a + (– b + c) = a – b + c.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», потрібно опустити дужки і знак «–», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які були в дужках, з протилежними знаками:

a – (b – c) = a – (+ b – c) = a – b + c.

28. Щоб звести подібні доданки, потрібно додати їх коефіцієнти і результат помножити на спільну буквену частину.

Наприклад: 7 a – 9 a + 4 a = (7 – 9 + 4) a = 2 a.

ВІДПОВІДІ

§ 1

15. a = -3. 16. a = 23. 17. Вказівка. Обґрунтуйте, що для х = 2 значення лівої частини рівняння є непарним числом. 20. 375 грн. 21. 148 т. 32. а) 16; б) 1,125; в) г) 33. а) 0,2; б) 34. а) –1; б) 35. а) б) 6. 36. а) –3; –2; –1; б) 0; 1; 2; 3; 39. а) 54 080 жителів; б) 50 000 жителів. 48. а) 2; б) -35; в) -10,2; г) 4. 49. а) 2; б) 0,7; в) -0,1; г) 6. 50. а) 5; б) 2,5; в) 2,5; г) 3,5; д) -4; е) коренів немає. 51. 0. 52. 4. 53. 3. 54. а) 1; б) 5; в) -2; г) коренем рівняння є будь-яке число. 55. а) б) в) г) 0. 56. а) 10; б) -1; в) -8; г) 57. г) –2; 9; д) 2,5; 5; е) . 58. а) –4; 4; б) –2; 2; в) коренів немає. 59. а) –4; 4; б) –5; 11; в) коренів немає; г) 7; д) –3; 3; е) –16; 16. 60. а) 1; б) 61. а) 8; 12; б) -6; -2; в) -1; 1; г) -0,5; 1,5. 62. а) 5; б) –3; 2; в) 4; г) коренів немає; д) коренем рівняння є будь-яке недодатне число; е) коренем рівняння є будь-яке невід’ємне число. 63. а) 0; б) коренів немає; в) коренів немає. 64. 19. 69. 30 яблук. 70. 40 кг; 28 кг. 71. 18 і 15 комп’ютерів. 72. 784 га; 224 га. 73. 36 і 12 років. 74. 16 і 20 деталей. 75. 300 сторінок. 76. 90 км. 77. а) 9 см; 6 см; 10 см; б) 10,5 см; 5,5 см; 9 см. 78. Олег — 2 грн.; Сергій — 6 грн.; Віталій — 4 грн. 79. 130 кг; 150 кг; 180 кг. 80. 52,5 кг; 45 кг; 37,5 кг. 81. 20 км/год; 16 км/год; 12 км. 82. 66 і 54 яблук. 83. 400 км. 84. 200 км. 85. 30 км. 86. 21 км/год. 87. 40 км. 88. 56 км/год; 60 км/год. 89. 56, 14 і 11 років. 90. 60 і 35 книжок. 91. 80 семи-
класників. 92. 90 деталей. 93. 350 грн. 94. 10 хв; 40 хв. 95. 28 учнів. 96. 8 ц, 2 ц. 97. 40 л; 30 л. 98. 500 г. 99. 38 т. 102. 34. 105. 30 способами. 109. в) 2; г) 5; д) -2,6; е) 4. 110. а) 5; б) -1. 111. а) коренів немає; б) -2; 2. 112. а) 0; 4; б) -2; 1. 113. а) 7;
б) –0,6. 114. а = 0. 115. Не існує. 116. 108 см². 117. 8 см; 12 см; 10 см. 118. 70 га. 119. 15 км. 120. 1,2 год. 121. 3 кг; 7 кг. 122. 40 л.

Завдання для самоперевірки № 1

1-й рівень. 1. в). 2. б). 3. а); г). 4. б). 5. в). 2-й рівень. 2. а) Один; б) коренів немає; в) один; г) безліч. 3. а) 1; б) 4. 5 км/год. 3-й рівень. 1. Ні. 2. а) б) 14. 3. 51 м; 30 м. 4. 5 год. 4-й рівень. 2. а) б) –2; 2. 3. 300 м. 4. 1,5 кг.

§ 2

138. 2400 кг. 139. 160 деталей. 142. а) 22,45; б) 530. 143. а) б) 4,6. 146. х = 2,5. 147. х = –7. 148. х = 2. 161. 120; 5040; 2 нулями; 24 нулями. 164. 23 числа. 166. а) 17,6 кг; б) 25 кг. 179. а) 44 а + 40; б) 8,5 b - 4 a; в) -6 у + 4; г) -2 х - 23 у - 6. 180. а) 2 х - 11 z; б) -14 а + 15 b - 3. 181. а) -6,9; б) -11; в) 28. 182. а) -4; б) 27. 192. а) 28 с + 26; б) х - 4,5; в) -6 х + 2 у + 3 z; г) 4 а - b; д) -6 х + 18; е) 15 n - 20. 193. а) 6 а + 12; б) 1,5 а - 5,4 b; в) 12 n + 18; г) х - у + 196. а) 1; б) 2. 197. а) –3; б) 0,5. 209. а) –5; 5; б) –7; –3; в) –3. 210. -15; 5; 20. 211. 60 км/год. 212. 218. а) 35 - 54 а; б) 5 х - 10; в) х - 4 у - 9; г) 7 b + 5; д) -0,1 х + 2 у -1,2; е) 2,5 а + 15. 219. а) -47; б) 0,1. 220. 13. 221. х = 1,8.