![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Многие реальные случайные эксперименты не укладываются в рамки дискретной модели с конечным или счётным пространством . Например, в эксперименте с вращающейся рулеткой, угол который определяет положение стрелки после её остановки, может принимать любое значение из промежутка
. Таким образом, мы имеем дело с пространством
, состоящим из бесконечного или даже несчётного множества точек. Считая, что стрелка вращается в горизонтальной плоскости с очень малым трением, естественно постулировать <<равновозможность>> любого её положения и, следовательно, приписать веем точкам из промежутка
одну и ту же вероятность
.
Покажем, что если в качестве взять ненулевое число, то получим противоречие с основными свойствами вероятностей. Действительно, пусть событие
состоит из точек
вида
,
. По определению,
(здесь использовано условие равновероятности событий). Очевидно, что при любом
можно взять такое
, что
, а это противоречит основному свойству вероятности. Из проведенного рассуждения следует, что в случае с рулеткой
должно быть равно нулю. Однако тогда мы приходим к <<парадоксу>>: событие
возможно, но его вероятность равна нулю. Парадокс этот кажущийся, так как на самом деле данный пример показывает необходимость применения другого, более общего подхода к введению понятия вероятности случайного события, которое работало бы не только в случае дискретного пространства элементарных исходов.
В случае дискретного пространства построение теории состояло из следующих шагов:
1) под событием понималось любое подмножество пространства ;
2) вначале вероятности определялись для элементарных исходов как отображение , удовлетворяя условиям
а) и б)
, а затем – для сложных событий по формуле
.
В общем случае, когда пространство элементарных событий может быть боле, чем счётным, построение теории вероятностей базируется на подходе, предложенном А.Н. Колмогоровым, идея которого заключается в том, что не все подмножества пространства
рассматриваются как события. Предполагается, что события – это некоторые подмножества из
, совокупность которых замкнута относительно операций конечного или счётного числа объединений и пересечений. Только этим подмножествам – событиям – ставятся в соответствие числа, называемые вероятностями, причём так, что к ним остаётся применимой частотная интерпретация, а <<дискретный>> подход в рамках общего становится частным случаем. Рассмотрим случай недискретного пространства.
Пусть - произвольное пространство элементарных событий, а
- некоторый класс подмножеств множества
.
Определение. Алгеброй событий назовём непустую систему подмножеств
, удовлетворяющую следующим аксиомам:
1) если подмножество принадлежит
(является событием), то дополнение
также принадлежит
(также является событием);
2) если подмножества и
принадлежат
(являются событиями), то и объединение
принадлежит
(также является событием).
Поскольку любую из рассмотренных операций над подмножествами можно получить, используя формулы де Моргана, с помощью только двух операций дополнения и объединения
,
,
пересечение и разность двух событий также будут событиями:
,
при любых
,
. Отсюда следует, что
и
. Простейшей системой подмножеств, являющейся алгеброй, является система, состоящая из полного
и пустого
множеств:
. В самом деле,
и
входят в этот класс, и результатами операций объединения, дополнения и пересечения над этими множествами вновь служат эти множества:
. Система всех подмножеств множества
, очевидно, является
- алгеброй.
Определение. Алгебра событий называется
- алгеброй, или борелевской алгеброй, если объединение счётного числа элементов из
также является элементом из
, т.е. из того, что
,
следует
.
Таким образом, - алгебру событий
можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов
, замкнутую относительно счётного числа теоретико-множественных операций. Тривиальная
- алгебра событий состоит из полного и пустого множеств
. Любая
- алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное неверно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся
- алгебрами. Элементы
- алгебры называются случайными событиями. Под операциями над случайными событиями понимают операции над соответствующими множествами.
Примером - алгебры служит класс из четырёх событий
. Действительно,
.
Определение. Вероятностью события или вероятностной мерой называется числовая функция, заданная на - алгебре событий
, которая каждому событию
ставит в соответствие число
так, что выполняются следующие четыре аксиомы:
1. для любого
(аксиома неотрицательности);
2. (аксиома нормированности);
3. для любых
,
(аксиома конечной аддитивности).
4. , если
,
для любых
,
для любого
(аксиома счётной аддитивности).
Тройку чисел , в которой
- пространство элементарных событий,
-
- алгебра некоторых подмножеств из
(не обязательно всех),
- вероятностная мера, определённая на
- алгебре и удовлетворяющая аксиомам
-
, называют вероятностным пространством.
Из аксиом -
вытекают основные свойства вероятности.
1. (вероятность невозможного события).
2. Для любого события справедливо неравенство
.
3. (вероятность дополнительного события), так как
.
4. Если , то
. Действительно, так как
, то по теореме сложения несовместимых событий
, и из аксиомы неотрицательности следует сделанное утверждение.
5. (вероятность объединения двух событий). Действительно, так как
и
, то из аксиомы сложения
,
. Отсюда при
получается нужное доказательство.
6. В силу неотрицательности имеем
.
7. Свойство 5 допускает очевидное обобщение для случая произвольного числа слагаемых:
Свойство 7 доказывается методом математической индукции по .
8. Для любого числа попарно непересекающихся событий
имеет место формула
.
Вероятность , определённая на
- алгебре
, называется распределением вероятностей на пространстве элементарных событий
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 637 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!