![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Говорить о вероятности как о мере возможности появления случайного события
имеет смысл только при осуществлении определённого комплекса условий эксперимента, в рамках которого это случайное событие
может происходить или не происходить. При изменении условий эксперимента, вообще говоря, изменится и вероятность. Пусть, например, в урне два белых шара и три чёрных. Два игрока последовательно вынимают из урны по одному шару. Событие
- появление белого шара у первого лица, событие
- появление белого шара у второго лица. Вероятность события
без учёта того, произошло или нет событие
, равна
, но если известно, что событие
произошло, то вероятность события
очевидно равна
. Следовательно, вероятность одного события может зависеть от того, учитывается или нет наступление другого события. Рассмотрим определение условной вероятности с позиции частотной интерпретации вероятности. Пусть случайный эксперимент повторяется
раз. При этом событие
появляется в этой серии
, а событие
-
раз. Обозначим через
число тех повторений эксперимента, которые закончилась одновременным появлением событий
и
. Тогда
- частота наступления события
, а
- доля тех случаев, когда эксперимент заканчивался наступлением события
среди только тех случаев, в которых обязательно происходили событие
. Это число называется условной частотой наступления события
при условии, что событие
произошло, или, коротко, условной вероятностью события
при условии события
.
В соответствии с частотной интерпретацией вероятности при частота события
стремится к вероятности события
. Покажем, что условная частота также <<имеет предел>>:
.
Предел условной частоты называется условной вероятностью события при условии
и обозначается
. Тогда из полученного соотношения следует, что
. Это предел одной и той же последовательности. Эти рассуждения приводят к математическому определению понятия <<условная вероятность>>.
Определение. Условной вероятностью события при условии
называется число
, равное
.
Из равенства для условной вероятности вытекает теорема умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое из них произошло:
.
Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна вероятности этих событий, причём вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.
.
Для условной вероятности сохраняются все свойства безусловной вероятности:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) если , то
;
6) если событие , то
;
7) если , то
;
Задача 1. Кубик с пронумерованными гранями подбрасывается два раза. Пусть событие состоит в том, что сумма выпавших очков не больше
, а событие
- состоит в том, что выпадает хотя бы одна единица. Найти условные вероятности
,
.
Решение. Пространство элементарных событий
,
состоит из событий. (Отметим, что
и
- разные события, так как в противном случае нарушается гипотеза о равновероятности исходов:
выпадает в два раза чаще, чем
).
Событие ;
Событие .
Анализируя множества и
видим, что они содержат подмножество
,
, состоящее из
- ми элементов (событий). Таким образом,
число повторений эксперимента, в котором одновременно появляются события
и
равно
,
.
Отсюда
,
.
Задача 2. На складе имеется деталей, произведенных на двух станках:
- на первом станке и
деталей – на втором. Среди
деталей имеется
доброкачественных деталей. Какова вероятность при случайном извлечении детали со склада получить доброкачественную деталь, изготовленную на первом станке?
Случайное извлечение означает, что элементарные события равновероятны.
Решение. Событие - деталь, случайно выбранная среди
, окажется произведенной на первом станке, т.е. из
; событие
- деталь, которая окажется доброкачественной;
- деталь и доброкачественная, и с первого станка. Отсюда получаем
.
По существу, рассматривая условные - и безусловные -
- вероятности в связи с некоторым реальным комплексом условий, мы имеем дело с двумя экспериментами - <исходным >>, заданным некоторым реальным комплексом условий, и <<новым>>, с расширенным комплексом условий, в который помимо исходного реального комплекса условий включены дополнительные условия, приводящие к обязательному осуществлению события
.
<<Исходный>> эксперимент формально описывается пространством элементарных исходов и безусловными вероятностями, заданными на нём.
<<Новому>> эксперименту, учитывающему, что событие происходит, соответствуют новое пространство элементарных исходов
и новые вероятности – условные. Пространство элементарных исходов
состоит из тех элементарных исходов пространства
, которые благоприятствуют наступлению события
, т.е.
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 1396 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!