![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Принцип двойственности основан на следующих двух соотношениях:
1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений
(3)
2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений
(4)
Принцип двойственности состоит в том, что из любой теоремы, относящейся к системе подмножеств фиксированного множества , совершенно автоматически может быть получена другая – двойственная – теорема путём замены множеств – их пересечением, а пересечения суммой. Докажем соотношение (3).
Пусть . Это означает, что
не входит в объединение
,
т.е. не входит ни в одно из множеств . Следовательно,
принадлежит каждому из дополнений
и поэтому
. Обратно, пусть
, т.е.
входит в каждое
; тогда
не входит ни в одно из множеств
, т.е. не принадлежит их сумме
, а тогда
. Равенство (3) доказано.
Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Ранее в нашем курсе использовалась графическая модель, которая называлась диаграммой Эйлера-Вьенна.
Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Поэтому введенные ранее отношения между множествами можно переформулировать и сказать, что это отношения между событиями.
Таким образом, разностью двух событий и
называется такое событие
, которое состоит в том, что происходит событие
и не происходит событие
.
Событие называется дополнительным (дополнением) к событию
, если оно происходит всякий раз, когда не происходит событие
. События
и
называются противоположными событиями.
![]() |
![]() |
Симметрической разностью событий и
называется событие
, в которое входят те элементарные события, которые входят или в
или в
, но не входят в их пересечение
. Диаграмма Эйлера-Вьенна для симметрической разности
была приведена ранее.
<<Множество>>, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Два события и
называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого. Очевидно, если события
и
несовместны, их пересечение является невозможным событием:
.
События образуют полную группу событий, если в результате эксперимента непременно произойдет, хотя одно из них. В этом случае их сумма
является достоверным событием. Например, событие
несовместно с событием
и вместе с ним образует полную группу.
В разделе подмножества рассматривается понятие универсального множества, или универсума. Универсальным называется множество, элементами которого являются все множества некоторой задачи или теории. Очевидно, что в теории вероятностей универсальным множеством является множество (пространство) элементарных событий . Полагая
, перепишем свойства операций над множествами в следующем виде.
1. Операции объединения с множеством элементарных событий и пустым множествами:
Сюда же включим идемпотентность
.
2. Операции пересечения с множеством элементарных событий и пустым множествами:
Сюда же включим идемпотентность
.
3. Законы дополнения:
.
4. Принцип двойственности, или формулы де Моргана.
5. Коммутативность операций объединения и пересечения.
6. Ассоциативность операций объединения и пересечения.
.
7. Дистрибутивность операции объединения относительно пересечения.
.
8. Дистрибутивность операции пересечения относительно объединения.
.
Если события и
несовместны, то наряду со знаком <<
>> для их объединения употребляют знак <<+>>. Отметим, что все действия над событиями можно получить с помощью двух действий – объединения и дополнения или пересечения и дополнения.
Все действия над событиями в точности также как и случае выполнения операций над множествами можно получить с помощью двух действий – объединении и дополнения или пересечения и дополнения. Например, используя формулы де Моргана, можно получить соотношение
.
Рассмотрим доказательство этой формулы. Обозначим и
. Рассмотрим некоторый элемент
множества
. Очевидно, что он принадлежит множеству,
т.е.
. Множество
по определению задаётся условием:
. Другими словами
одновременно принадлежит множеству
и не принадлежит множеству
. Используя определение дополнения множества
:
, запишем
.
С учётом сказанного зададим множество условием:
. Если
то он принадлежит
:
. С учётом сказанного запишем определение множества
:
. Мы провели доказательство по схеме слева направо. Аналогично можно провести доказательство по схеме справа налево.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 5116 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!