Парадокс Рассела

Задание множеств характеристическим предикатом может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: .

Если множество существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: ? Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела. Существует три способа избежать этого парадокса.

1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом

где – известное, заведомо существующее множество (универсум). Обычно при этом используют обозначение . Для универсум не указан, а потому множеством не является.

2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества имеют тип 1, множества множеств – тип 2 и т.д. не имеет типа и множеством не является.

3. Характеристический предикат задан в виде вычислимой функции (алгоритма). Способ вычисления значения предиката не задан, а потому множеством не является.

Последний из перечисленных способов лежит в основе так называемого конструктивизма – направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения некоторые понятия и методы классической математики, чреватые возможными парадоксами.