Решения задач диагностической работы

1.1. Если ребро куба равно a, то его диагональ равна . Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

Ответ. 8.

1.3. Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6 x ². Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна6(x+ 1)². Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+ 1)² = 6 x ² + 30, решая которое, находим x = 2.

Ответ. 2.

2.1. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1 и образует с плоскостью грани угол 30^о, то ребро, перпендикулярное этой грани будет равно 0,5. Аналогично, два других ребра параллелепипеда будут равны 0,5 и . Объем параллелепипеда равен .

Ответ. 4,5.

2.2. Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60^о, равна . Высота, опущенная на эту грань, равна . Объем параллелепипеда равен 1,5.

Ответ. 1,5.

3.1. Площадь основания треугольной призмы равна . Высота призмы равна 5. Объем призмы равен 120.

Ответ. 120.

3.2. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8.

Ответ. 8.

4.1. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k, то отношение объемов этих тетраэдров равно k ³. Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз.

Ответ. 8.

4.2. Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360.

Ответ. 360.

5.1. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов, площадь которых равна 4, четырех прямоугольников, площадь которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников, площадь которых равна 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

5.2. Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27.

Ответ. 27.

6.1. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9. Следовательно, объем детали равен 3.

Ответ. 3.

6.2. Площади поверхностей данных шаров равны и . Их сумма равна . Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

Ответ. 10.

7.1. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32.

Ответ. 32.

7.2. Радиус шара равен 3. Объем шара равен , а объем, деленный на равен 36.

Ответ. 36.