Задание 11. Решить задачу с использованием СЛАУ

11.1. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

11.2. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.3. Найти вектор , если он перпендикулярен вектору , удовлетворяет условиям , .

11.4. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.5. Даны векторы , , . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

11.6. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.7. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

11.8. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.9. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.10. Вектор , перпендикулярный векторам , образует с осью тупой угол. Зная, что длина вектора равна 26, найти его координаты. Сделать схематический рисунок.

11.11. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

11.12. Проверить, пересекаются ли три плоскости в одной точке. Если пересекаются, то найти координаты этой точки:

.

Указание. Три плоскости имеют одну единственную общую точку, если система общих уравнений этих трех плоскостей имеет единственное решение (является определенной).

11.13. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.14. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

11.15. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

11.16. Показать, что три плоскости пересекаются в одной единственной точке и найти координаты этой точки: , , .

Указание. Три плоскости имеют одну единственную общую точку, если система общих уравнений этих трех плоскостей имеет единственное решение (является определенной).

11.17. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.18. Выяснить, является ли система векторов: , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , , где , , .

11.20. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

11.21. Выяснить, является ли система 3-мерных векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.22. Вектор перпендикулярен векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

11.23. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.24. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.25. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.26. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.27. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

11.28. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.29. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

11.30. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.31. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.32. Вектор перпендикулярен векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

Задание 12 (Применение векторной алгебры).

Даны координаты точек M, N, P, Q (см. ниже) пирамиды MNPQ.

1. Найти координаты векторов , разложить их по базисным векторам , найти длины (модули) векторов.

2. Вычислить косинус угла между рёбрами MN и MP.

3. Найти площадь грани MNP.

Замечание. Площадь грани (треугольника) MNP необходимо вычислять через векторное произведение векторов, на которых построен треугольник.

4. Вычислить объём пирамиды MNPQ.

Замечание. Объем пирамиды MNPQ вычислять при помощи смешанного произведения векторов, на которых построена пирамида MNPQ.

5. Найти длину высоты пирамиды, опущенной из точки на основание MNP. Нахождение высоты основано на применении формулы .

Исходные координаты точек M, N, P, Q (в cоответствии с вариантами)

12. 1. М(–3, –2, –4), N(–4, 2, –7), P(5, 0, 3), Q(–1, 3, 0);

12. 2. М(2, –2, 1), N(–3, 0, –5), P(0, –2, –1), Q(–3, 4, 7);

12. 3. М(1, 3, 2), N(3, 2, 7), Р(4, 0, 0), Q(–2, 1, 2);

12. 4. M(3, 6, –2), N(0, 2, –3), Р(1, –2, 0), Q(–7, 6, 6);

12. 5. М(1, –4, 1), N(4, 4, 0), P(–1, 2, –4), Q(–9, 7, 8);

12. 6. М(1, –2, 1), N(3, 1, –2), Р(2, 2, 5), Q(–2, 1, 0);

12. 7. М(0, 6, –5), N(8, 2, 5), Р(2, 6, –3), Q(5, 0, –6);

12. 8. М(–2, 4, –6), N(0, –6, 1), Р(4, 2, 1), Q(7, –1, –8);

12. 9. М(–4, –2, –5), N(1, 8, –5), P(0, 4, –4), Q(9, –2, –10);

12. 10. М(3, 4, –1), N(2, –4, 2), P(5, 6, 0), Q(11, –3, –12);

12. 11. М(2, –3, 1), N(6, 1, –1), Р(4, 8, –9), Q(2, –1, 2);

12. 12. М(5, –1, –4), N(9, 3, –6), Р(7, 10, –14), Q(5, 1, –3);

12. 13. М(1, –4, 0), N(5, 0, –2), Р(3, 7, –10), Q(1, –2, 1);

12. 14. М(–3, –6, 2), N(1, –2, 0), Р(–1, 5, –8), Q(–3, –4, 3);

12. 15. М(–1, 1, –5), N(3, 5, –7), Р(1, 12, –15), Q(–1, 3, –2);

12. 16. М(1, –3, –4), N(–1, 0, 2), Р(2, –4, –6), Q(1, 1, 1);

12. 17. М(0, 4, 3), N(4, 8, 1), Р(2, 15, –7), Q(0, 6, 4);

12. 18. М(–2, 0, –2), N(2, 4, –4), Р(0, 11, –12), Q(–2, 2, –1);

12. 19. М(3, 3, –3), N(7, 7, –5), Р(5, 14, –13), Q(3, 5, –2);

12. 20. М(1, 1, –1), N(0, 1, 2), Р(5, 4, –3), Q(0, 2, –6);

12. 21. М(1, 1, 1), N(2, 2, 2), Р(5, –4, –3), Q(1, –2, –6);

12. 22. М(1, 1, 2), N(3, 5, –2), Р(2, 3, –5), Q(0, –3, 2);

12. 23. М(1, 1, 4), N(0, –2, 3), Р(2, 0, 3), Q(–1, –2, 0);

12. 24. М(2, 0, 2), N(0, 0, 4), Р(–1, 2, –1), Q(4, –2, 1);

12. 25. М(1, 1, 6), N(0, 4, 2), Р(–1, –2, 16), Q(2, –3, 0);

12. 26. М(1, 2, –1), N(–3, 5, 0), Р(5, –1, 2), Q(0, 2, 3);

12. 27. М(1, 1, –2), N(0, 6, 2), Р(3, 1, 0), Q(3, –2, 5);

12. 28. М(6, 0, 0), N(–1, 3, –1), Р(1, 0, –5), Q(2, 3, 4);

12. 29. М(3, –1, 2), N(0, 2, 2), P(–1, 0, 8), Q(1, 2, 3);

12. 30. М(0, 0, 4), N(–1, 2, –1), Р(2, 0, 2), Q(–2, –3, 4);

12. 31. М(1, 0, –3), N(0, 1, –3), Р(2, 1, 1), Q(2, 3, 4).

12. 32. М(3, 3, –3), N(7, 7, –5), Р(5, 14, –13), Q(3, 5, –2)