Задание 10. Операции над векторами в координатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов)

10.1. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , (двумя способами); 4) вектор .

10.2. Заданы вершины четырехугольника : , , , . 1) Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали; 2) найти величину угла ; 3) найти длины сторон четырехугольника и его площадь; 4) найти смешанное произведение векторов .

10.3. Пусть , , . Найти: 1) скалярное произведение ; 2) ; 3) смешанное произведение .

10.4. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

10.5. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Найти: 1) площадь треугольника ; 2) длину высоты, опущенную из вершины , длину медианы треугольника ; 3) смешанное произведение векторов ; 4) угол при вершине (в градусах).

10.6. Заданы векторы , , . Найти: 1) величину проекции вектора на ось, параллельную вектору ; 2) координаты вектора и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) площадь треугольника, построенного на векторах и ; 5) проверить, на коллинеарность и ортогональность векторы и .

10.7. Даны векторы , , . Найти: 1) координаты вектора ; 2) проекцию вектора на вектор ; 3) векторное произведение ; 4) смешанное произведение векторов , , ; 5) проверить, ортогональны ли векторы и .

10.8. Даны четыре точки , , , . 1) Доказать, что эти точки лежат в одной плоскости; 2) найти площадь четырехугольника ; 3) найти длины сторон и косинус угла между его диагоналями.

10.9. Заданы векторы , . Найти: 1) координаты вектора , коллинеарного вектору , удовлетворяющего условию ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на .

10.10. Даны векторы , , . 1) Найти косинус угла между векторами , . 2) Выяснить, компланарны ли векторы , , . 2) Найти координаты вектора .

10.11. Даны векторы , , . 1) Найти вектор и его длину; 2) установить, какова тройка векторов – правая или левая; 3) найти скалярное произведение ; 4) найти угол между , .

10.12. Даны четыре точки , , , . Найти: 1) косинус угла между векторами , и их длины; 2) скалярное произведение ; 3) вектор ; 4) смешанное произведение векторов .

10.13. Дан параллелограмм ABCD, причем известны координаты вершин , , ). Найти: 1) координаты вершины ; 2) площадь параллелограмма ABCD; 3) длины сторон, диагоналей параллелограмма и угол между диагоналями.

10.14. При каком значении параметра векторы , перпендикулярны? Найти при этом значении параметра длину вектора .

10.15. Даны векторы , , . Найти: 1) угол между векторами , и их длины; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов .

10.16. Даны точки: , , , . 1) Проверить, лежат ли эти четыре точки в одной плоскости, то есть образуют четырехугольник ; 2) найти площадь четырехугольника , длины его сторон и величины углов.

10.17. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор и его длину; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) координаты вектора , удовлетворяющего условию .

10.18. Даны точки , , , . 1) Найти скалярное произведение векторов , ; 2) площадь треугольника ; 3) проверить, лежат ли точки в одной плоскости; 4) вычислить косинус угла между векторами .

10.19. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор и его длину; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор , удовлетворяющий условию .

10.20. Даны четыре точки , , , . 1) Выяснить, лежат ли они в одной плоскости; 2) найти площадь треугольника ; 3) найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника .

10.21. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор .

10.22. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелипипеда, построенного на векторах , ,

10.23. Даны векторы , , . Найти: 1) координаты вектора , его длину; 2) векторное произведение ; 4) смешанное произведение векторов , , ; 5) ортогональны ли векторы , .

10.24. Даны векторы , , . 1) Найти вектор ; 2) установить, тройка векторов – правая или левая; 3) найти число ; 4) вычислить угол между векторами .

10.25. Даны точки , , , . 1) Найти скалярное произведение векторов и ; 2) площадь треугольника ; 3) проверить, лежат ли точки в одной плоскости; 4) вычислить угол между .

10.26. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , (двумя способами); 4) вектор .

10.27. Заданы вершины четырехугольника : , , , . 1) Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали; 2) найти величину угла ; 3) найти длины сторон четырехугольника и его площадь; 4) найти смешанное произведение векторов .

10.28. Пусть , , . Найти: 1) скалярное произведение векторов , и угол между ними; 2) ; 3) смешанное произведение .

10.29. Даны векторы , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

10.30. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Найти: 1) площадь треугольника ; 2) длину высоты, опущенную из вершины , длину медианы треугольника ; 3) смешанное произведение векторов ; 4) угол при вершине (в градусах).

10.31. Заданы векторы , , . Найти: 1) длины векторов , и косинус угла между ними; 2) координаты вектора и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) проверить на коллинеарность и ортогональность векторы и .

10.32. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор .