Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е¹ называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов а, а¹ и в, в¹ выполняется равенство (а, в) = (а¹, в¹).

Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е¹ изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E ¹.

Доказательство. Þ Пусть Е и Е¹ изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E ¹.

Ü Пусть dim E = dim E ¹ = n. Выберем в пространствах Е и Е¹ ортонормированные базисы е = (е₁, е₂,..., е_n) и е¹ = (е₁¹, е₂¹,..., е_n¹) соответственно. Зададим отображение j: Е ® Е¹ по следующему правилу. Если а Î Е и а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, то пусть j (а) = х₁ е₁¹ + х₂ е₂¹ + … + х_n е_n¹. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е¹. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть в Î Е и в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_{n .} Тогда j (в) = у₁ е₁¹ + у₂ е₂¹ + … + у_n е_n¹ _. Так как базис е ортонормированный, то (а,в)= х₁у₁ + х₂у₂ +… + х_nу_n. Так как базис е¹ ортонормированный, то (j (а), j (в)) = х₁у₁ + х₂у₂ + … + х_nу_n. Следовательно, (а,в) = (j (а), j (в)). Итак, j - изоморфизм между Е и Е¹.

Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.