Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n- мерное евклидово пространство и пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) – базис в нём. Так как в Е_n для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_{n .} Тогда (а, в) = (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n)×(у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n) = = х ^Т×Г × у, где х ^Т – строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в. Итак, (а, в) = х ^Т×Г × у (42).

Свойства матрицы Грама.

1⁰. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (е_к, е_s) = (е_s, е_к).

2⁰. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что е_к ¹ 0 и, следовательно, (е_к, е_к) > 0.

3⁰. Для матрицы Грама и любого n- мерногостолбца х выполняется условие х ^Т×Г × х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х ^Т×А × х > 0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

4⁰. Пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) и е¹ = (е₁¹, е₂¹,..., е_n¹) –два базиса в Е_n, Г и Г¹ – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е¹ соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹. Тогда (а, в) = х ^Т×Г × у, х = Т×х¹, у = Т×у¹, х ^Т= (Т×х¹) ^Т= (х¹) ^Т× Т^Т. Следовательно, (а, в) = ((х¹) ^Т× Т^Т)× Г× (Т×у¹) = (х¹) ^Т× (Т^Т × Г× Т)× у¹. Но (а,в) = (х¹) ^Т× Г¹× у¹. Отсюда

Г¹ = Т^Т× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

5⁰. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует ú Г¹ ú =ú Т^Т ú ×ú Г ú ×ú Т ú = ú Г ú ×ú Т ú ². Так как | Т ú ²> 0, то ú Г¹ ú и ú Г ú имеют одинаковые знаки.

6⁰. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

Примеры.

1. Во множестве М₂ квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е₁ = , е₂ = , е₃ = , е₄ = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е₁, е₁) = 1, (е₁, е₂) = (е₂, е₁) = 0, (е₁, е₃) = (е₃, е₁) = 0, (е₁, е₄) = (е₄, е₁) = 0, (е₂, е₂) = 1, (е₂, е₃) = (е₃, е₂) = 0, (е₂, е₄) = (е₄, е₂) = 0, (е₃, е₃) = 1, (е₃, е₄) = (е₄, е₃) = 0, (е₄, е₄) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R [ х ] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х², х³).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х²) = (х², 1) = = ), (1, х³) = (х³, 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х²) = (х², х) = = ), (х, х³) = (х³, х) = = ), (х², х²) = = ), (х², х³) = (х³, х²) = = ), (х³, х³) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (е₁, е₂, е₃) пространства Е₃ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × = 7.