Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р.
Определение 59. Отображение f: (Ln ´ Ln) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на Ln, если для любых векторов а, в, с и любого элемента a Î Р выполняются условия:
f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с); f (а, в + с) = f (а, в) + f (а, с); f (a× а) = a× f (а).
(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)
Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,..., еn), а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn,
в = у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn, f (ек, ер) = aкр. Тогда из определения 58 следует
f (а, в) = f () = = , где aкр – элементы поля Р.
Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.
Матрица А = | называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде: f (а, в) = х Т× А × у (56) |
Если е1 = (е11, е21,..., еn1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Т×х1, у =Т×у1. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх1) Т × А × (Ту1) = (х1)Т×(Т Т× А × Т)× у1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой
А1 = Т Т× А × Т (57)
Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если
f (а, в) = f (в, а) для любых векторов а и в. (57)
Очевидно, верно следующее утверждение:
Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.
Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.
Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно
(а, в) = х Т×Г × у. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 607 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!