![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть Еn – n- мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения а2 ³ 0.
Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. т.е. ú а ú = (44)
Свойства длины вектора:
1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú а ú ³ 0.
2. ú a× а ú = úaú×ú а ú для любого а Î Еn.
3. Для любых векторов а и в из Еn верно неравенство ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú.
Доказательство. (а –a в)2 = а 2 – 2a(а, в) + a2× в 2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)2 – а 2× в 2 £ 0, или (а, в)2 £ а 2× в 2. Отсюда ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.
Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.
40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.
Если а ¹ 0, то ú а ú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а0 = а. Очевидно, ú а0 ú =1.
Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое действительное число j, что
(46).
Угол между векторами а и можно также обозначать
.
Свойства углов.
10. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.
Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.
20. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .
Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.
30. Если а ^ в, a ¹ 0, b ¹ 0, то (a а)^ (b в).
40. Если а ^ в и а ^ с, то а ^ (в + с).
Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.
50. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Еn.
Доказательство.
Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn. Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а, с) = 0 (*). Зафиксируем в Еn базис. Пусть а = (а1, а2, …, аn), с = (х1, х2, …, хn). Тогда с Î L Û а Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.
Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек. Иными словами с Î Е
Û (с, а) = 0 для всех а Î Ек. Пространство Е
ортогональным дополнением к пространству Ек.
60. Ортогональное дополнение Е является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn.
Доказательство аналогично доказательству свойства 50.
70. Е Ç Ек = { 0 }.
80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.
Доказательство. Пусть а ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что a× а + b× в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а. Получим a× а2 + b× (а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а2 ¹ 0, то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.
90. Если а1, а2, …, ак и в1, в2, …, вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а1, а2, …, ак и в1, в2, …, вs линейно независима.
Теорема 42. Для любого к (1 £ к £ n) Еn = Е Å Ек.
Доказательство. Пусть (е1, е2,..., ек) – базис в Ек и (ек +1, е к + 2,..., еn) – базис в Е . Из свойства 90 следует, что (е1, е2,..., ек, ек +1, е к + 2,..., еn) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов, то это базис в Еn. Следовательно, Еn = Е
+ Ек. Из свойства 70 следует Еn = Е
Å Ек.
Пусть Еn = Е Å Ек. Если а – любой вектор из Еn, то а = а1 + а2, где а1 Î Ек, а2 Î Е
. Вектор а1 называется проекцией вектора а на подпространство Ек. Вектор а2 называется ортогональной составляющей вектора а.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 626 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!