Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов

Пусть даны два линейных пространства L_n и L_m над полем Р. Пусть в L_n зафиксированы базисы е = (е ₁, е₂, …, е_n) и е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹), а в пространстве L_m – базисы f = (f₁, f₂, …, f_m) и f¹ = (f₁¹, f₂¹, …, f_m¹). Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор, А – его матрица в паре базисов е и f и А¹ – матрица этого же оператора в паре базисов е¹ и f¹. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, а Q – матрица перехода от f к f¹. Тогда е¹ = е ×Т, f¹ = f ×Q, j (е) = f ×А, j (е¹) = f¹ ×А¹. Отсюда j (е ×Т) = (f ×Q) ×А¹, j (е)× Т = f × (Q ×А¹). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т^–1. Из последнего равенства получаем, что j (е) = (f × (Q ×А¹))× Т^–1 = f × (Q ×А¹ × Т^–1). Но j (е) = f ×А. Следовательно, А = Q ×А¹ × Т^–1, или А¹ = Q^–1 × А × Т (34)

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – базисы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅. Пусть линейный оператор j: L ₃ ® L₅ задан по правилу j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃. Составить матрицу оператора j и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L ₃ в базисе f пространства L₅. По данному правилу получим j (е₁) = 1× а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), j (е₂) = 1× а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), j (е₃) = 1× а₃ = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А =

Координаты вектора j (с)можно найти по формуле (33), а именно, х1 = А × х.

× = .

Итак, j (с) = (5, 23, 0, 24, -7) в пространстве L₅. (Сравните с решением этого же примера в пункте 6.1.)