Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов
,
,
,
,
,
отличен от нуля.
Эллипсоид
a, b, c — полуоси
|
|
Свойства эллипсоида.
- Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
- Эллипсоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
- В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
|
| |
|
Сфера (частный случай эллипсоида)
|
|
|
Однополостный гиперболоид
c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси
|
|
Свойства однополостного гиперболоида.
- Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
- Однополостной гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
- В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
|
|
Двуполостный гиперболоид
c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси
|
|
Свойства двуполостного гиперболоида.
- Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
и неограничен сверху. - Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
- В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола. |
|
Конус
Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат
|
|
|
| |
Эллиптический параболоид
|
|
Свойства эллиптического параболоида.
- Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
- Эллиптический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
- В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
|
|
| |
Гиперболический параболоид
|
|
Свойства гиперболического параболоида.
- Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
- Гиперболический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
- В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.
- Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
|
|
| |
Эллиптический цилиндр
a и b — полуоси
|
|
|
| |
Гиперболический цилиндр
|
|
|
Параболический цилиндр
p — фокальный параметр
|
|