Базис в пространстве и на плоскости. Разложение по базису

(2.1)

где представляют собой произвольные действительные числа. Векторы являются линейно зависимыми, при условии , что линейная комбинация (2.1) равняется нулю, а в противном случае они будут линейно независимыми.

Проанализируем линейную зависимость векторов на плоскости и в пространстве.

Т.1: Два вектора являются коллинеарными в том и только в том случае, когда они линейно зависимы ■

□ Поскольку согласно условию векторы — коллинеарны являются линейно зависимыми ()

Следствие: Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Рис. 2.5

Т.2: Пусть векторы и являются неколлинеарными, в этом случае любой компланарный с ними вектор представляется исключительным образом как их линейная комбинация ■

□ Поместим начала векторов и (рис. 2.5). В этом случае . Допустим, что найдутся , для которых также . Согласно свойствам линейных операций получаем , и отсюда в силу следствия Т.1 ,

Из Т.2 и её доказательства имеем следствие.

Следствие. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Т.3: Допустим, что некомпланарны, тогда всякий вектор в пространстве единственным образом представляется как их линейная комбинация ■

□ Помещаем начала векторов и в т. (рис. 2.6). В этом случае согласно Т.2 вектор и

Следствие: Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Рис. 2.6

О: Базисом на плоскости и пространстве именуется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (при добавлении к системе ещё одного вектора система становится линейно зависимой).

Следовательно, базисом на плоскости будут всякие два неколлинеарных вектора, которые взяты в определённом порядке, а базисом в пространстве будут всякие три некомпланарных вектора, которые взяты в определённом порядке.

Пусть пространства будет разлагаться единственным образом по базисным векторам в базисе .

Запись через координаты линейных операций над векторами:

а) сложение и вычитание:

— базис

б) Умножение на число :

.

Формулы вытекают из свойства линейных операций.

Задача. в базисе .

Найти координаты в этом же базисе.

◄ ►

Стоит отметить, что если векторы и , будут пропорциональны: и наоборот.