![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Oe 1→ e 2→ e 3→− аффинная система координат
Даны:
плоскость θ: Ax + By + Cz + D =0;
прямая d [ M 0, p →], заданная точкой и направляющим вектором;
M 0(x 0, y 0, z 0)− точка;
p →(p 1, p 2, p 3)− направляющий вектор;
1) Прямая d и плоскость θ - пересекаются тогда и только тогда, когда вектор p → и плоскость θ не параллельны, что равносильно условию Ap 1+ Bp 2+ Cp 3/=0
2) Прямая d параллельна плоскости θ, если p →∣∣θ и M 0/∈θ, т.е.
Ap 1+ Bp 2+ Cp 3=0;
Ax 0+ By 0+ Cz 0+ D /=0;
3) Прямая d лежит в плоскости θ, если p →∣∣θ и M 0∈θ, т.е.
Ap 1+ Bp 2+ Cp 3=0;
Ax 0+ By 0+ Cz 0+ D =0;
33. расстояние от точки до плоскости до прямой. Между двумя параллельными плоскостями, прямыми и скрещивающимися прямыми
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
у Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
L ОР равна р. С другой стороны, пр nOM = n·OM. Поскольку
Р n ={cos α, sin α }, a OM ={ x,y }, получаем, что
n M x cosα + y sinα = p, или
О х x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х0,у0) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
. (7.21)
Доказательство.
у Q Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
P A n·OA =x0 cosα + y0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =
n x0 cosα + y0 sinα - p, что и требовалось доказать.
O
L
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
(7.22).
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!