Взаимное расположение прямой и плоскости. Oe1→e2→e3→− аффинная система координат

Oe 1→ e 2→ e 3→− аффинная система координат

Даны:

плоскость θ: Ax + By + Cz + D =0;

прямая d [ M 0, p →], заданная точкой и направляющим вектором;

M 0(x 0, y 0, z 0)− точка;

p →(p 1, p 2, p 3)− направляющий вектор;

1) Прямая d и плоскость θ - пересекаются тогда и только тогда, когда вектор p → и плоскость θ не параллельны, что равносильно условию Ap 1+ Bp 2+ Cp 3/=0

2) Прямая d параллельна плоскости θ, если p →∣∣θ и M 0/∈θ, т.е.

Ap 1+ Bp 2+ Cp 3=0;

Ax 0+ By 0+ Cz 0+ D /=0;

3) Прямая d лежит в плоскости θ, если p →∣∣θ и M 0∈θ, т.е.

Ap 1+ Bp 2+ Cp 3=0;

Ax 0+ By 0+ Cz 0+ D =0;

33. расстояние от точки до плоскости до прямой. Между двумя параллельными плоскостями, прямыми и скрещивающимися прямыми

Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

у Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L ОР равна р. С другой стороны, пр _nOM = n·OM. Поскольку

Р n ={cos α, sin α }, a OM ={ x,y }, получаем, что

n M x cosα + y sinα = p, или

О х x cosα + y sinα ­­- p = 0 - (7.20)

- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х₀,у₀) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

. (7.21)

Доказательство.

у Q Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна

P A n·OA =x₀ cosα + y₀ sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =

n x₀ cosα + y₀ sinα - p, что и требовалось доказать.

O

L

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

(7.22).

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.