Производная и дифференциал функции одной переменной

Разделяй и властвуй.
(Главное, нужно знать, что разделять,
чтобы потом властвовать.)

ПЛАН

1. Введение

2. Историческая справка.

3. Приращение аргумента и функции.

4. Задачи, приводящие к понятию производной.

5. Производная функции, заданной аналитически.

6. Таблица производных.

7. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

8. Геометрический смысл производной. Графическое дифференцирование.

9. Производная функции, заданной таблично.

10. Дифференциал функции. Приложение к приближенным вычислениям.

11. Экономический смысл производной.

12. Эластичность.

13. Заключение

11.1. Введение

– Слушай, а почему исчисление? Вычисление – то лучше.

– Не лучше. Приставки «из» и «ис» означают высшую степень какого-то действия: из-вержение, из-неможение, ис-коренение.

– Из-вращение, ис-кушение! Значит ис-числение

– Высшая степень вычислений.

(Из разговора студентов).

11.2. Историческая справка

Создание дифференциального и интегрального исчислений относится к концу 17 – началу 18 веков, когда на смену мрачного Средневековья пришла Эпоха Просвещения. Церковь потихоньку сдавала свои позиции, костры все реже загорались на тесных площадях европейский городов и Наука радостно раскрывала свои тайны всем, кто мог ею заниматься всерьез. Европа и Англия, Лейбниц и Ньютон, бедняк и богач стояли у истоков реки новых математических знаний. Вслед за удивительным Декартом они искали универсальный язык формул, которым можно было описать мироздание, где все текло и все менялось. Как описать изменение? И не просто изменение, а изменение одной величины под воздействием изменения другой? У них был разный путь. Если вспомнить способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

формула	таблица	график
	… …

то подход Ньютона был аналитически-кинематическим. Он мыслил категориями физики – скоростями или быстростями и часто в роли независимой переменной у него выступало время .

Лейбниц ушел от привязки к конкретным физическим величинам. Он был геометр – его характеристический треугольник со сторонами присутствует во многих работах. Скорость изменения переменной , связанной с изменением переменной он впервые записал в виде , если и .

Но им нужна была не скорость, а мгновенная скорость, не просто приращения, а отношение бесконечно малых приращений. Наверное, они оба хотели остановит и зафиксировать мгновение. Понятие предела появилось позже, но они интуитивно чувствовали, когда бесконечно- малую величину можно считать равной нулю, а когда нельзя.

Их подход к исследованию функций остался актуальным и сейчас, потому что как и прежде человечеству необходимо знания и мгновения, и вечности.

Основополагающими терминами дифференциального исчисления являются понятия приращение – производная - дифференциал. Рассмотрим их при аналитическом, графическом и табличном способе задания функции.

11.3. Приращение аргумента и функции

Пусть дана функция и два значения ее аргумента и x. Им соответствует два значения функции и .

Определение 11.1. Разность значений

(11.1)

называется приращением аргумента в точке .

Определение 11.2. Разность значений функции

(11.2)

называется приращением функции в точке .

Разрешим равенства (11.1) и (11.2), данные в определении относительно , и :

. (11.3)

С учетом (11.3) запишем приращение в виде:

. (11.4)

Здесь и являются фиксированными постоянными значениями, а и – переменными, зависящими от . Приращение может быть различным – положительным, отрицательным или равным нулю.

Покажем, как различные приращения аргумента приводят к различным приращениям на примере.

Пример 11.1. Найти приращение , связанное с приращением для функции в общем виде и при переходе из точки в точку .

Решение. По формуле (11.4) найдем :

1. . (11.5)

2. По формуле (11.2) найдем приращение функции при

а) .

б) с другой стороны подставим в формулу (11.5)

Получили равные результаты.

Если аргументу дать отрицательное приращение , то приращение функции будет равно , т. е. равные по модулю приращения приводят к неравным по модулю приращениям функции . Это связано с нелинейностью функции.

Если функция задана графически, то ее приращения и находят из графика (рис. 11.1).

Рис. 11.1

Приращения аргумента могут быть разных знаков – в первом случае положительное, во втором – отрицательное. И связанные с ними приращения функции также могут быть иметь разные знаки. Главное, внимательно смотреть и учитывать эту разницу, что поможет в дальнейшем при исследовании функции.

Если функция задана таблично, то ее приращения находят как разности значений, стоящих в соседних клетках. Их величины вписывают в отдельную строку в левое, правое или промежуточное положение.

/квартал	I	II	III	IV
прибыль, млн. руб.
цепной прирост,	+30	-40	+30

В экономике эти разности и т.д. называют абсолютным или цепным приростом. В математике – конечными разностями первого порядка. Разности для аргумента всюду одинаковые и равны, в нашем случае, 1 кварталу (а могут быть равными 1 мес., 1 год и т. д. – то есть шагу таблицы).

11.4. Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим кусочек мела, лежащий на столе. Подкинем его вверх с некоторой начальной скоростью, и он за некоторое время поднимется на высоту . Его скорость в каждый момент движения будет разной (рис.11.2). Как ее найти? И вот тут вступает в силу древний как мир совет королям: «Разделяй и властвуй». Он «работает» и в математике, особенно в дифференциальном и интегральном исчислении.

Поскольку нас интересует скорость в каждый момент времени (и, следовательно, в каждой точке пространства), то логично разбить весь временной интервал Т, за который мел летит вверх, на равных частей , .

Пусть к моменту времени мел был на высоте . В момент времени . Скорость на участке времени от до определяется отношением

.

Так как тело движется вверх и на него действует сила тяжести, то скорость в точках и будет отличаться друг от друга. Это различие можно уловить, если устремить к нулю. А как было показано в лекции 9 – если кто-то куда-то стремиться – нужно вычислять предел. Поэтому мгновенная скорость равна пределу отношения приращения пути к вызвавшему его приращению времени, при стремлении последнего к нулю, т.е.

.

Вычисление пределов подобного рода – не единичная задача. Рассмотрим тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной l (рис. 11.3). Определим плотность стержня в каждой его точке. Положим его на ось , тогда каждая точка будет иметь свою координату .

Рис. 11.3

Обозначим через массу отрезка стержня. В силу неоднородности стержня его масса будет зависеть от координаты , т.е. . Рассмотрим некоторую фиксированную точку и переменную точку . Если положить, что длина стержня равна его массе , то его средняя плотность определится как отношение

.

При стремлении к нулю получим плотность стержня в точке , т.е.

.

Третий пример относится к производственной задаче с определением производительности труда в разные моменты рабочей смены при конвейерной сборке автомобилей. Первыми ее решали американцы. Для того, чтобы снизить затраты на электроэнергию, и на конвейере не было простоев и «запарок,» были проведены энергометрические исследования. В утренние часы в начале смены производительность труда – отношение числа сделанных операций к единице времени, была низкой, потом повышалась, к обеду вновь уменьшалась, т.е. зависела от времени:

,

где – количество произведенных операций, – отрезок времени. В соответствии с проведенными исследованиями был установлен скоростной режим для ленты транспортера, управляемый компьютером. В каждый момент времени он учитывал физические способности человека и двигался так, чтобы процесс производства протекал наименее утомительно и эффективно.

Как и в первых двух примерах, производительность труда в данный момент времени (и скорость ленты транспортера), определяется через знакомый предел

.

11.5. Производная функции, заданной аналитически

Отвлечемся от конкретных задач. Пусть дана функция , определенная в точке . Дадим приращение аргументу , тогда функция получит приращение .

Определение 11.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю произвольным образом.

Итак,

,

или

.

Термин «производная» – «derivative» (англ.) – «die ableutung» (нем.) означает «выведенное из функции, добытое, произведенное по определенному правилу» – как предел отношений бесконечно малых приращений.

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках. Множество значений будет также являться функцией от аргумента . Эту новую функцию обозначают символами и называют производной функции . Тогда – ее частное значение в точке .

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Она проводится по правилу, описанному в определении производной.

Пример 11.2. Найти производную функции в общем виде и в точке .

Решение. Пусть x – любая точка. Дадим приращение аргументу . Тогда функция получит приращение , равное разности между новым и старым значениями функции:

.

Найдем

.

Таким образом, . В точке .

11.6. Таблица производных

Естественно, что все элементарные функции были продифференцированы еще в 18 веке, и мы пользуемся готовыми формулами, которые сведены в таблицу. Советуем выучить ее наизусть, как таблицу умножения, потому что это тот язык, на котором говорит высшая математика.

Посмотрите внимательно на эти формулы. Некоторые из них вам знакомы из школы, остальные вы видите впервые. Какой вывод можно сделать? – Производная отличается от своей первообразной функции почти всегда: дифференцирование приводит не только к изменению показателя степени для , но и к изменению вида аналитического выражения: . И только одна функция осталась неизменной: это , которую назвали экспонентой. Позднее мы увидим, что и . Число – это число Эйлера, с которым мы познакомились во втором замечательном пределе.

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,	5. ,
2. ,	6. ,
2 а. ,	7. ,
2 б. ,	8. ,
2 в. ,	9. ,
3. ,	9 а. ,
3 а. ,	10. ,
4. ,	10 а. .
4 а. ,

Вопрос: любую ли функцию можно продифференцировать, во всех ли точках функция может иметь производную? На него ответит следующий пункт.

11.7. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

В лекции 10 «Непрерывность функции» мы дали следующее определение непрерывности функции в точке :

Функция непрерывна в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . То есть для непрерывности функции надо, чтобы приращение и были сравнимы или одного порядка малости.

Но те же самые и присутствуют в производной: , где – скорость процесса в рассматриваемой точке. Если известно, что производная в данной точке существует, то отсюда следует, что и – б.м.в. одного порядка малости и, следовательно – непрерывна в данной точке.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Будет ли верна обратная теорема? Если функция непрерывна в точке , будет ли она в ней иметь производную? Не спешите давать утвердительный ответ.

Мы должны сказать, что в математике кроме прямых доказательств какого-либо утверждения можно приводить контр-примеры, которые показывают, что данное утверждение ошибочно. И тогда теорема отвергается или принимается с оговорками типа «за исключением некоторых точек». Этой фразой нас предупреждают о подводных камнях.

Итак, контрпример. Функция непрерывна для всех . По формуле 2 из таблицы производных найдем ее производную: ; у нас , и . Эта функция определена для всех , кроме нуля. То есть несмотря на то, что исходная функция непрерывна, ее производная имеет разрыв в точке , да еще II рода (бесконечный). График данной функции приведен на рисунке 11.4а.

Рис. 11.4

Аналогично функция (рис. 11.4б) будет иметь разрыв производной в точке . На рис. 11.4в приведен график функции , которая непрерывна для всех . Так как

то

То есть производная в точке слева равна –1, а справа +1. Но по определению производная не зависит от способа стремления к данной точке, произвольно и как слева, так и справа от нуля должно получиться одно число, а у нас – разные. Поэтому производной функции в точке не существует.

Поэтому говорят, что функции , и т. д. непрерывны на интервале , а дифференцируемы на объединении полуинтервалов , т.е. всюду, кроме точки (или любой другой точки).

Данные примеры показывают, что связь между дифференцированием и непрерывностью односторонняя: из первого следует второе, но из второго первое не всегда, поэтому требование дифференцируемости более жесткое, чем требование непрерывности.

11.8. Геометрический смысл производной.
Графическое дифференцирование

Для того, чтобы усвоение многих понятий математического анализа было легче и зрительно понятнее, рассмотрим второй подход к описанию производной – геометрический, который открыл великий немец Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Но прежде договоримся о терминологии. Что такое касательная? Самый простой ответ – эта прямая, имеющая одну общую точку с кривой. Ответ неправильный, контрпример: ось параболы пересекается с ней в одной точке, но это не касательная (рис. 11.5).

Дадим строгое определение касательной к кривой в данной точке.

Рассмотрим плоскую кривую . Проведем секущую . Если точка начнет перемещаться к точке , остающейся неподвижной, то секущая начнет менять свое положение, все более приближаясь к некоторой прямой называется касательной (рис. 11.6).

Рис. 11.6 Рис. 11.7

Определение 11.2. Касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

Аналогично вводится касательная и к пространственной кривой.

Вернемся к производной. Рассмотрим график функции , имеющий в точке невертикальную касательную (рис. 11.7). Проведем ее до пересечения с осью – это будет угол . Угловой коэффициент .

Теперь рассмотрим секущую , где точка имеет координаты . Угол, который она составляет с осью , равен b, и

. (11.6)

Если , то в силу непрерывности функции, и точка устремится к точке . Секущая неограниченно приближается к положению касательной и , следовательно или в форме пределов

. (11.7)

Но по определению.

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке

. (11.8)

Иногда уточняют и говорят, что тангенс угла наклона касательной равен производной функции в этой точке.

Касательную можно проводить к любой гладкой, т.е. не имеющей «изломов», кривой (см. рис. 11.4в). В точках изломов касательную провести невозможно (рис. 11.4а, б).

А теперь покажем, как можно построить график производной функции , если известен график исходной функцией . Эта операция называется графическим дифференцированием.

Пусть график функции приведен на рис. 11.8. Разобьем отрезок , на котором определена на частей с помощью точек . На данном графике им будут соответствовать точки . Через каждую точку проведем касательные. Через точку проведем параллельные этим касательным прямые и т.д. до их пересечения с осью . Отрезки и т.д. равны значениям производной соответственно в точках и т.д. Действительно, например, в треугольнике , т.к. . Но согласно геометрическому смыслу , поэтому . Как получаются точки понятно из чертежа. Они имеют координаты , …, . Соединив эти точки плавной кривой, получим приближенный график производной , по которому нетрудно найти приближенное значение этой производной в любой точке отрезка . Ясно, что построение графика производной тем точнее, чем большее число точек деления . Значения производной найдутся тем точнее, чем точнее определится длина отрезков .

Рис. 11.8

Графическое дифференцирование является хорошим подспорьем, а иногда и единственной возможностью для определения скорости изменения процесса, описанного графиком.

Пример 11.4. На графике функции найти точку, в которой касательная составляет угол с осью OX. Сделать чертеж.

Решение. Сделаем рисунок (см. рис. 11.9).

Воспользуемся формулой в точке x ₀.

.

Таким образом, в точке касательная будет направлена под углом к положительному направлению оси OX.

Пример 11.5. Из всех показательных функций выбрать ту, у которой производная в точке равна единице.

Решение. В таблице производных найдем при любом . В точке И только в том случае, если . То есть из всех показательных функций только при производная имеет касательную с углом наклона к положительному направлению оси OX.

11.9. Производная функции, заданной таблично

Прежде чем рассматривать этот пункт, вспомним еще раз определение производной.

Производная функции – это предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю произвольным образом.

, или .

Оговоримся сразу, что никакая таблица, даже с очень малым шагом , не может выполнить требование . Да в этом часто нет необходимости, особенно если рассматривать экономические процессы, протекающие в длительные временные периоды. Поэтому под табличной производной понимают отношение приращения (строка 4 таблицы 11.2) к приращению . , где – шаг таблицы или . Неточность будет тем выше, чем больше значение или . Эта производная характеризует скорость протекания процесса за данный период времени. Если цифры таблицы нанести на график, и соединить рядом стоящие точки отрезками прямых , (рис. 11.10), то скорости будут пропорциональны тангенсам углов наклона этих отрезков к оси .

Таблица 11.2.

, период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
, объем производства, млн. руб.
		+5	+15	–10	–30	+50
, – 1 мес.				–10	–30

Рис. 11.10

В данной таблице нас будет интересовать и значение и его знак. Из смысла задачи понятно, что чем больше , тем больше скорость возрастания объемов производства в денежном изображении за месяц. В нашем случае наиболее удачным оказался март, убыточным – май.

Точки можно соединить плавной прямой и применить метод графического дифференцирования при уверенности, что в промежуточных точках нет изломов.

Для более строгого определения производной функции, заданной таблицей, вначале рассчитываются интерполяционные формулы Ньютона или Лагранжа, описывающие таблицу с точками в виде многочлена -ой степени, а уже потом для полученного многочлена находят производную Эти задачи решаются на ЭВМ и не входят в рассмотрение данного курса. Их можно найти в литературе.

Вообще величина бывает очень полезной для экономистов, потому что в общем случае она показывает во сколько раз приращение больше (или меньше) приращения , например, отношение прибыли от каких – либо мероприятий к затратам на эти мероприятия. Позднее мы рассмотрим такую задачу, а пока закончим лекцию еще одним понятием, тесно связанным с приращением функции. Это новое понятие – дифференциал.