Лекция 9. И долго я блуждал, и часто утомленный Я думал о тебе, предел благословенный

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

И долго я блуждал, и часто утомленный
Я думал о тебе, предел благословенный.

А.С. Пушкин

ПЛАН

1. Введение.

2. Определение предела функции.

3. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции

4. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

5. Сравнение бесконечно малых функций

6. Основные теоремы о пределах.

7. Техника раскрытия неопределенностей.

8. Первый замечательный предел

9. Второй замечательный предел

10. Начисление непрерывных процентов

9.1. Введение

Анализ продаж за три года показал следующую зависимость прибыли Y (млн. руб.) от времени Х, измеряемого в месяцах. Экономист предприятия свел данные в таблицу (см. табл. 9.1) и нарисовал график изменения Y от Х (см. рис. 9.1).

Таблица 9.1

Х (месяцы)
Y (млн. руб.)	1,5	1,75	1,99	1,999

Рис. 9.1

Аналитическое выражение этой функциональной зависимости может быть определено как , где х – время, у – прибыль. (Подставьте в нее значения аргумента – получите значение функции).

Рассматривая таблицу и график можно предположить, что с возрастанием аргумента х эта функция неограниченно будет приближаться к числу 2, или, как говорят, имеет при х пределом число 2. Вывод: если предприятие ничего не изменит при продажах своей продукции, ее прибыль не сможет стать больше 2 млн. руб.

Отвлечемся от конкретной экономической задачи и рассмотрим ее в общем виде.

9.2. Определение предела функции

Пусть М (х, у) – текущая точка на графике функции . Найдем расстояние от точки М до прямой у = 2.

.|

Это расстояние зависит от х и может быть сделано меньше любого положительного наперед заданного числа для достаточно больших х. Так, например, , если х > 100,

, если х > 1000,

И вообще, если то , если .

Введем определение предела функции при различных устремлениях Х.