Пример 9.4

1) . 2) .

3) . 4)

Какой можно сделать вывод из рассмотренных примеров?

Предел частного двух многочленов с разными степенями великости при x →∞ будет равен:

а) числу, если их степени равны;

б) нулю, если степень знаменателя выше степени числителя;

в) бесконечности, т.е. не существует, если степень числителя выше степени знаменателя.

Аналогично рассматриваются примеры отношения бесконечно малых величин, когда мы имеем неопределенность вида . В данном случае следует оставлять члены с наименьшей степенью, так как именно они будут вносить наибольший вклад в общую сумму.

5) . 6) . 7) .

Рассмотрим еще один пример на неопределенность типа 0/0.

8) .

Почему стало возможным сократить на «нулевой» множитель? Потому что х только стремится к 2, но никогда его не достигает, между ним и 2 всегда есть «зазор» – бесконечно малая величина, которую сократить можно.

Рассмотрим последний тип неопределенности , означенный в заголовке на примере.

Здесь мы применили искусственный прием – умножили и разделили на множитель, сопряженный данному выражению, а потом к получившейся дроби применили то же правило выделения «старшего слагаемого», который рассмотрели выше.

Рассмотрим еще два предела, которые получили название з амечательных в силу неожиданности ответа.

9.8. Первый замечательный предел

Рассмотрим две теоремы, которые нам понадобятся при выводе формулы первого замечательного предела.

Т еорема 9.3. Пусть даны три функции f(x), g(x), h(x), связанные неравенствами f(x) < g(x) < h(x), причем функции f(x) и h(x) стремятся к одному пределу b при (или ). Тогда и функция g(x) также будет стремиться к числу b при ().

Математики шутливо называют эту ее теоремой о двух милиционерах.

Иллюстрацией этой теоремы служит рис. 9.7.

Рис. 9.7 Рис. 9.8

Теорема 9.4. Пусть функции f(x) и g(x), связанные неравенством f(x)>g(x), имеют пределы при х (х ). Тогда (рис. 9.8).

Используем эти теоремы для определения предела при .

Эта функция не определена при х ®0, т.к. знаменатель дроби обращается в нуль. Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис.9.9). Обозначим центральный угол МОA через x. Будем считать х лежит в первой четверти. Из рисунка следует, что площадь треугольника МОА меньше площади сектора МОА и меньше площади треугольника СОА:

,

,

,

.

После сокращения на ½ неравенство перепишется так:

Разделим на , в результате получим

,

т.к. при .

Итак, с одной стороны отношение , а с другой – меньше. На основании теоремы 9.3 приходим к выводу, что предел этого отношения равен 1, т.е.

(9.1)

Это и есть формула первого замечательного предела.

Обсудим ее. При стремлении х к нулю и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, т.е. являются бесконечно малыми величинами. Так как их отношение равно 1, то по определению 9.9, они являются эквивалентными бесконечно малыми величинами и при вычислении пределов частного одну из них можно заменять на другую. Это дает большое преимущество при решении примеров. Запишем еще несколько эквивалентных пар:

, , , .

Пример 9.5. Вычислить предел функции

.

В числителе дроби произвели замену тригонометрических функций на эквивалентные, в знаменателе вспомнили, что слагаемое 2 х б.м.в. более высокого порядка малости, чем 5 х, и его можно отбросить (по теореме 9.2).

Если одна из эквивалентных величин возводится в степень, то и другая – тоже, т.е. .

9.9. Второй замечательный предел. Число e

Рассмотрим переменную величину , где n – переменная, принимающая значения из натурального ряда чисел: 1, 2, 3,...

Ее значениями будут числа (1+1), (1+1/2) , (1+1/3) , …., т.е. наименьшим значение будет число 2, а наибольшее не превышает 3. Проверьте это утверждение на калькуляторе, давая n различные значения (не забывайте про степень). При стремлении n в бесконечность, предел, к которому будет стремиться данное выражение, будет выражаться иррациональным числом
е = 2,7182818284…, которое получило название числа Эйлера. А сам предел получил название второго замечательного предела.

(9.2)

Доказательство этого факта можно найти в рекомендуемой литературе по математическому анализу.

Показательная функция с основанием е: играет большую роль не только в математике, физике, но и экономике, что вы увидите при изучении экономической теории. Мы это увидим на примере начисления непрерывных процентов.

Логарифмы, в основании которых лежит число e, называют натуральными логарифмами. Их значения сведены в таблицу и могут быть найдены с помощью калькуляторов. Свойства натуральных логарифмов аналогичны свойствам остальных логарифмов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Обратите внимание, что в формуле второго замечательного предела первое слагаемое равно 1, а показатель степени и второе слагаемое взаимно обратные. Эти обязательные условия следует учитывать и сначала преобразовывать функцию к виду (9.2), а потом проводить вычисления.

Пример 9.6. Вычислить пределы функций.

1) .

2) .

3) , т.к. .

4) , т.к. .

9.10. Начисление непрерывных процентов

Пусть к началу года в нашем распоряжении имеется сумма Q ₀ рублей. Как добиться к концу года максимального роста этой суммы? Один из способов – воспользоваться услугами банка. Предположим, что банк дает 100% годовых; это означает, что за год хранения вклад возрастет на 100%. За любой меньший срок вклад возрастает пропорционально этому сроку (например, за один месяц прирост составит 100/12 процентов).

Итак, после года хранения, вклад станет , т.е. удвоится. Можно, однако, добиться большего эффекта, если по истечении полугода закрыть счет и тут же открыть его снова на очередные полгода. В этом случае к концу первого полугода вклад станет равным , а к концу года будет равным . Вспомните как мы исчисляли проценты в первой лекции!

Если операцию по закрытию и открытию счета производить чаще, то получим еще больший эффект: например, если эту операцию проводить в конце каждого месяца, то к концу года будем иметь , а если закрывать и открывать счет каждый день, то конечная сумма составит

.

Если представить себе (что, конечно, является абстракцией), что операция закрытия-открытия производится непрерывно, то в итоге к концу года вклад составит

руб.

Таким образом, при номинальной ставке 100% эффективная ставка может составить 172%, что существенно лучше.

Аналогично рассуждения можно провести для случая, когда номинальная ставка будет p % (вмест0 100%). Тогда (теоретически) возможная конечная ставка вклада будет

.

Если вклад хранится не один год, а любое количество t лет, то получим формулу

,

которая называется формулой непрерывных процентов.

Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное исчисление процентов не применяется, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при объективном выборе инвестиционных решений.