Предел функции при

Определение 9.1. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое число N, что для всех x > N выполняется неравенство .

Это значит, что при неограниченном возрастании х функция сколь угодно мало отличается от числа b и на чертеже ординаты графика функции попадают в e-окрестность точки b, как только х становится больше N (рис. 9.2).

Символическая запись предела функции выглядит так:

.

Геометрически это означает, что функция может стремиться к своему пределу сверху, оставаясь больше своего предельного значения (рис. 9.3а), снизу, оставаясь меньше предельного значения (рис. 9.3б), или колебательно (рис. 9.3в).

Рис. 9.3

Пример 9.1. Доказать, что .

Решение. Следуя определению предела, зададим произвольное число и составим абсолютную величину разности

.

Это неравенство будет выполняться для любых x, больших чем .

2. Предел функции при

Определение 9.2. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое число , что для всех выполняется неравенство .

Геометрический смысл предела функции при х аналогичен геометрическому смыслу при (рис. 9.4).

Символическая запись предела функции выглядит так:

.

Следующие определения традиционно является одними из самых трудно понимаемых и воспроизводимых студентами определений.