Примеры разложения других функций в ряд Маклорена

Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена более «сложные» функции с использованием элементарных разложений.

1. y=ln(1- x) x Для этого используем формулу разложения функции ln(1+x), только вместо переменной х необходимо подставить (- х).

ln(1-x) =-x + -…= = - x ….

Легко заметить, что полученный ряд имеет все отрицательные элементы, что позволяет представить разложение более сложной функции, а именно:

2. у= x - + –(- x ….)=2(x+ . Таким образом, получили знакоположительный ряд с нечётными степенями.

Заметим, что используемые выше формы разложения логарифмов допустимы лишь при значениях переменной х в области (-1;1). Теперь с помощью формулы можно представлять в степенной ряд и соответственно вычислять логарифм любого числа. Для этого предварительно сделаем подготовку.

Представим, что необходимо вычислить lnM, где М – это число >2. Запишем равенство М=

Выразим х относительно М: М(1-х)=1+х, отсюда х= .

3. Вычислить с точностью 0,001 натуральный логарифм числа М=5.

Решение: ln5= =2(x+ )=2()=2(0.6666+0.0987+0.0263+0.0028)=1.606

4. у =

Для ражложения этой функции в ряд Маклорена можно использовать формулу (5) только вместо показателя надо поставить (-1)

Решение.

у = =1-х+

********************

5.

Замечание. Ряд Маклорена является разложением бесконечно дифференцируемой функции по базису {1, x, x ², …, xⁿ, …} (в интервале сходимости).

§9. Разложение функций в степенные ряды.

I. Непосредственное вычисление

II. Использование известных разложений (§8), действий с рядами, алгебраических формул,

единственности разложения, сдвига центра.

Примеры. 1)

{ }

2) {

}

III. Почленное интегрирование рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию

{ }

§10. Некоторые приложения степенных рядов.

1. Приближенные вычисления.

Пример. Найти значение с точностью 0.001.

{ Так как это знакочередующийся ряд, то его остаток меньше первого отброшенного члена (гл.1,§11). Следовательно, (с точностью 0.001).}

2. Интегрирование с помощью рядов.

Пример.

3. Решение дифференциальных уравнений.

Примеры. 1. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения дифференциального

уравнения:

{ Вычислим производные в т. х ₀=1:

}

2*. Решить уравнение:

{Будем искать решение в виде степенного ряда:

Тогда Подставляя данные выражения в уравнение, имеем: или

В силу начальных условий: а ₀ = 0, а ₁ = 1. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,

получим: Отсюда:

и }