Вычисление области и радиуса сходимости степенного ряда

Для нахождения радиуса сходимости. как уже отмечалось, обычно используют признаки Коши или Даламбера).

Пример 2.

Решение. Будем исследовать ряд на абсолютную сходимость, используя критерий Коши.

= Для сходимости потребуем: . Тогда распиcав модуль, получим: -3 . Значит область сходимости ряда: (-3; 5), радиус сходимости равен половине длины интервала, т.е.R=

Пример 3. Решим этот же пример, используя признак Даламбера.

Составим выражение предела отношений функций

По признаку Даламбера ограничим значение предела единицей: или , т.е.

Ряд сходится в средине интервала (-3; 5).

Для определения сходимости на концах интервала следует подставить точки х=. – 3 и х=5 в исходный ряд и поверить сходимость числовых рядов:

1) Так. Пусть х=-3. Тогда имеем знакочередующийся ряд - это есть расходящийся ряд, так как у него нет конечной суммы.

2) х=5. Имеем ряд …Это ряд является расходящимися, так как с некоторого момент члены ряда будут представлять дроби, значения числителя которых больше значения знаменателя. Таким образом, окончательный ответ: х