![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента
y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале [a; +
, где
). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла
сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции y = f(x) на интервале [a; + ,может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.
Пример 1.
Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость.
Решение.
Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . Рассмотрим функцию y=
. Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале [2;+
. Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную:
.
Она отрицательная на промежутке [a; + ,, следовательно, функция убывает на этом интервале.
Таким образом, функция y= удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Воспользуемся им:
То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.
Пример 2.
Докажите сходимость числового ряда .
Решение.
Так как , то необходимое условие сходимости числового ряда выполнено.
Начиная с k = 4, справедливо неравенство . Таким образом, если доказать сходимость ряда
, то в силу первого признака сравнения будет сходиться ряд
тогда из первого свойства сходимости рядов последует сходимость исходного числового ряда.
Итак, осталось доказать сходимость числового ряда .
Так как функция y= положительная, непрерывная и убывающая на интервале
(проверить эти факты самостоятельно) то можно воспользоваться интегральным признаком Коши выполнив под интегралом замену переменных типа ln(5x=8)=t или подвести под знак дифференциала выражение (5х+8), которая там представится, как ln(5x+8):
=
=
=-
Таким образом, несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится исходный ряд Этим доказана сходимость исходного числового ряда.
Абсолютная и условная сходимость.
Вернемся к произвольным числовым рядам A = ;
Определение 1. Ряд А называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Определение 2. Ряд А называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A * расходится.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 322 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!