Стоячие волны. Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний

Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

Интерференцией называется явление наложения когерентных волн, при котором происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве, в результате чего в одних его точках наблюдается ослабление, а в других – усиление колебаний.

Когерентными называются колебания (волны, источники), у которых:

1) частоты одинаковые: w ₁ = w ₂ = w ₀;

2) колебания происходят вдоль одного направления (сонаправлены);

3) разность фаз колебаний не изменяется во времени:

d = a₂ – a₁= сonst

Рис. 1.80

Рассмотрим (рис. 1.80) два когерентных источника S ₁ и S ₂, от которых распространяются волны так, что в точке наблюдения (точка М) колебания описываются выражениями

S ₁(t) = A₁ cos (w t – k r ₁) = A₁ cos (w t – a₁)

S ₂(t) = A₂ cos (w t – k r ₂) = A₂ cos (w t – a₂)

где r ₁ и r ₂ – расстояния от источников до точки наблюдения a₁ и a₂ – начальные фазы колебаний в точке наблюдения.

В соответствии с теоремой косинусов амплитуда результирующего колебания в точке М имеет вид:

где d = a₂ – a₁ – разность фаз колебаний в этой точке.

Из этой формулы следует, что:

1) если d = + 2pn, (cos d = 1), то амплитуда колебаний становится максимальной (A = A_max), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для d происходит усиление колебаний;

2) если d = + (2n+1)p, (cos d = –1), то амплитуда колебаний становится минимальной (A = A_min), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для d происходит ослабление колебаний. В частности, если А₁ = А₂, то колебаний не происходит вообще – данная частица среды покоится.

Рассмотрим наиболее простой и важный случай интерференции: сложение двух плоских волн, имеющих одинаковую амплитуду и распространяющихся навстречу друг другу. Возникающий при этом колебательный процесс называется стоячей волной.

Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х:

S ₁ = A cos (w t – kх)

Волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси х:

S ₂ = A cos (w t + kх)

Результирующая волна получается при сложении

S = S ₁ + S ₂

Из тригонометрии известно:

Поэтому

S = S ₁ + S ₂ = 2A cos kx cosw t,

т. е. амплитуда результирующих колебаний является функцией координаты точки пространства, в которой рассматривается колебание

A_рез = А (х) = 2 A cos kx

Анализ выражения A_рез = 2A cos kx

1) если cos kx = 0, то A _рез = 0, т.е. точки среды не колеблются (рис. 1.81). Координаты x = x _узл точек среды, в которых колебания отсутствуют, называются узлами:

(n = 0, 1, 2,...)

2) если cos kx = + 1, то A _рез = А_max, т. е. амплитуда колебаний соответствующих точек среды максимальна (рис. 1.81). Координаты x = х _пучн точек среды, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями:

(n = 0, 1, 2,...)

Из этих формул видно, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами одинаковое и равно l/2. Все точки, лежащие по разные стороны узлов колеблются в противофазе, а все точки, находящиеся между узлами, колеблются в одинаковой фазе.

Рис. 1.81