Использование аналога критерия Михайлова для оценки устойчивости импульсных систем

Физический смысл частотных характеристик импульсных и непрерывных систем очень близок. Особенностью этих характеристик для импульсных систем является то, что они устанавливают связь между гармоническими последовательностями (гармоническими решетчатыми функциями) на входе и выходе импульсного фильтра с передаточной функцией W*(s) или W(z). Огибающие решетчатых функций изменяются по гармоническому закону.

Если на вход линейного импульсного фильтра подается гармоническая последовательность x(nT)=A_xsin nT, то после окончания переходного процесса на выходе будем иметь также гармоническую последовательность y (nT)=A_ysin( nT+φ).

Если исходная информация о системе представлена импульсной передаточной функцией W*(s) или W(z), то для перехода к частотным характеристикам используются замены аргументов s=jω или z = е^jωT.

В результате такой замены аргумента получаем амплитудно-фазово-частотную характеристику (комплексный коэффициент передачи) импульсной системы (АФЧХ).

Пусть импульсная передаточная функция имеет вид

Сделав замену z = е^jωT, получим АФЧХ

Комплексное выражение можно представить в виде

где P^*(ω), Q^*(ω), R^*(ω), φ^*(ω) – соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики импульсной системы. Очевидно, , , k= 0, ±1, ±2,…; ,

При фиксированном значении ω АФЧХ (2.82) изображается вектором на плоскости (P^*, jQ^*). При изменении ω конец вектора прочерчивает некоторую кривую, которую называют годографом амплитудно- фазово- частотной характеристики.

Отметим основные особенности частотных характеристик импульсных систем, которые вытекают из свойств импульсной передаточной функции.

1. Частотные характеристики импульсных систем являются периодическими функциями относительно частоты ω с периодом повторения . Это означает, что при построении этих характеристик достаточно ограничиться изменением ω в диапазоне шириной . Если учесть, что участки частотной характеристики в диапазонах ω от до 0 и от 0 до симметричны (поскольку и - комплексные сопряженные функции), то можно ограничиться построением частотной характеристики в интервале изменения ω от 0 до .

2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульсной системы заканчиваются на вещественной оси, так как для ω= комплексный коэффициент передачи всегда является действительным числом. Из частотных критериев для анализа импульсных систем используются аналоги критериев Найквиста и Михайлова. Рассмотрим аналог критерия Михайлова.

Для анализа устойчивость импульсных САУ используется характеристическое уравнение замкнутой системы. Выполнив замену , получаем уравнение кривой Михайлова

Используя Теорему Эйлера = , запишем

Задавая частоту в интервале от 0 до π/Т_{0 ,} строится в комплексной плоскости кривая Михайлова (cм. рис. 2.62).

Рис. 2.62. Годографы кривой Михайлова для устойчивых систем 1, 2, 3 порядков.

Формулировка. Для того чтобы замкнутая импульсная САУ была устойчива, необходимо и достаточно чтобы при =0 кривая Михайлова начиналась на положительной вещественной оси и при возрастании частоты от 0 до π/Т₀ характеристическая кривая последовательно, нигде не обращаясь в ноль, в положительном направлении прошла 2 m квадратов, где m – порядок системы.

Пример 2.21. Оценить устойчивость импульсной САР частоты вращения ДПТ, используя аналога критерия Михайлова

Решение.

Воспользуемся передаточной функцией и характеристическим уравнением замкнутой САР частоты вращения ДПТ из примера 2.20.

.

– характеристическое уравнение

Используя ППП Mathсad, получаем (Рис. 2.63)

Рис. 2.63. Годограф Михайлова

Вывод. Кривая Михайлова при =0 начинается на положительной вещественной оси (0,836) и заканчивается на вещественной оси (2,087). Проходит поочередно, нигде не обращаясь в ноль 2m=4 квадрантов. Следовательно, импульсной САР частоты вращения ДПТ является устойчивой.