Импульсная передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Рассмотрим по структурной схеме, представленной на рис. 2.57, получение импульсной передаточной функции разомкнутой САУ для случая, когда W_ос (s) =1.

Рис. 2.57. Структурная схема разомкнутой импульсной САУ

Выражение прямого преобразования Лапласа (L -преобразования) непрерывной функции x(t) имеет вид

.

Для исследования импульсных систем используется дискретный аналог данного преобразования – так называемое прямое дискретное преобразование Лапласа (L_D -преобразование).

.

Отличие этих преобразований заключается лишь в том, что интеграл в L -преобразовании заменен суммой, а вместо непрерывной функции x(t) фигурирует соответствующая решетчатая функция x(nT).

Определим L_D -преобразование для выходного сигнала y^*(t) импульсной системы

Так как реакция ПНЧ на d-функцию представляет собой импульсную переходную характеристику w(t), то значение y(t) сигнала на выходе приведенной непрерывной части определяется из выражения, имеющего вид

Следовательно, значение выходного сигнала в моменты времени t = nT равны

Подставляя в, получим

Подстановкой m = n – i и n = i + m уравнение приводится к виду

Учитывая, что w(mT) ≡ 0 для m < 0, окончательно получим

Исходя из определения L_D -преобразования, можно привести уравнение к виду

Тогда

где – импульсная передаточная функция разомкнутой системы в s-изображении (так называемая импульсная передаточная функция со звездочкой).

Таким образом, импульсная передаточная функция разомкнутой системы в s -форме является отношением дискретных преобразований Лапласа выхода и входа при нулевых начальных условиях.

Путем подстановки z=e^sT в можно получить уравнение для z -изображений, то есть

Здесь W_рс(z) – импульсная передаточная функция разомкнутой системы в z -преобразовании. Следовательно, импульсная передаточная функция разомкнутой системы в z -форме может быть определена как отношение z -изображения импульсного выходного сигнала системы к изображению импульсного входного при нулевых начальных условиях. Выражение показывает, что импульсная передаточная функция представляет z -преобразование импульсной переходной функции приведенной непрерывной части системы, то есть

Таким образом, для того чтобы определить импульсную передаточную функцию системы с формирующим элементом произвольного типа, необходимо:

1. Определить передаточную функцию приведенной непрерывной части: W_пнч(s) =W_фэ(s)W(s).

2. С помощью обратного преобразования Лапласа найти импульсную переходную функцию приведенной непрерывной части:

w(t)=L^-1{W_пнч(s)}.

3. Определить весовую последовательность системы (решетчатую

функцию веса): w(nT) = w(t)|_{t = nT}.

4. Найти сумму ряда в правой части выражения:

Так как изображение d- функций равно единице, а импульсная переходная функция равна w(t)= L^-1{W(s)}, то импульсная передаточная функция в z -форме может быть определена как , то есть, зная выражение передаточной функции W(s), и используя таблицу z - преобразований, можно найти W(z).

Для рассмотренного случая, когда W_ос (s) =1, импульсная передаточная функция в z -преобразовании ПНЧ W_пнч(z) равна передаточной функции разомкнутой системы W_рс(z).

На основании предложенного подхода и структурной схемы (см. рис. 2.58) можем записать выражение импульсной передаточной функции в z -преобразовании разомкнутой системы W_рс(z) для любого случая

Рис. 2.58. Структурная схема разомкнутой импульсной САУ

Используя уравнения,, представим уравнение следующим образом

С учетом того, что , окончательно запишем

При отсутствии в схеме САУ формирователя импульсов выражение W_pc(s) можем записать

Таблица z-преобразований (см. приложение 2) позволяет получить лишь выражения для простейших дробей. Поэтому, нужно сложную дробь разложить на простейшие дроби и затем воспользоваться таблицей.

Пример 2.18. Получить импульсные передаточные функции непрерывной части и разомкнутой САР частоты вращения ДПТ.

Решение.

Воспользуемся параметрами системы из примера 2.9 и выражением передаточной функции непрерывной части из примера 2.16: =0,1с.; =0,7с.; К_эу =15; К_сд =0,6; К_р =0,2; К_г1 =10; К_д1 =8,5; К_тг =0,16; К_ос =0,5.

.

Для простоты решения сведем порядок системы к 2, прировняв Т_Г=0, Т_Э=0. Получаем

.

Воспользуемся выражением (2.71)

.

Определим корни знаменателя дроби: s₁ =0; s₂ =-10; s₃ =2.

Используя теорему Виета, разложим выражение в фигурных скобках на простейшие дроби вида:

Левая часть уравнения будет равна правой, если равны и знаменатели, то есть

=

=(А + В + С) S ²+(12 А +2 В +10 С)S+20 A.

Cоставляем систему трех уравнений, выбирая выражения при S ², S ¹, S ⁰

(А + В + С)=0;

(12 А +2 В +10 С)=0;

20 A =153.

Решая данную систему, получаем значения коэффициентов

А=7,65; В=1,9125; С=-9,5625.

Воспользуемся таблицей z -преобразований (см.приложение 2),

при Т =0,9с. (см.пример 2.17) получаем

Передаточная функция разомкнутой САР

= =